전체 개념지도

개념 146개 · 연결 747개 · 여섯 줄기. 색 점은 세연이 진도예요.

배운 곳 지금 여기 (초5-2 4단원) 앞으로

여섯 줄기

① 수 체계 — 세는 것에서 무한까지

자릿값에서 시작해 수가 부족해질 때마다 확장된다. 마지막에 무한 자체의 크기를 묻는다.

자연수와 자릿값 → 분수 = 나눗셈 = 비율 → 음수 (맛보기) → 정수·유리수의 연산 → 유리수와 순환소수 → 제곱근과 무리수 → 실수 체계 → 복소수와 i → 수열의 극한과 무한급수 → 무한의 크기: 칸토어 → 해석학 입문: ε-δ와 실수의 완비성

② 대수와 함수 — 글자를 쓰는 용기, 기계의 사진

□ → x → 식 → 방정식 → 함수. 1일차 y=ax+b가 이 줄기 한가운데 있다.

□가 들어간 식 → 변수와 문자 사용 → 일차방정식 → 함수 = 기계 → 일차함수 y=ax+b → 이차함수 y=ax² → 완전제곱과 근의 공식 → 합성함수와 역함수 → 지수함수·로그함수 그래프 → 삼각함수 그래프 = 파동 → 행렬과 선형변환 → 선형대수와 AI

③ 기하와 증명 — '맞는 것 같다'에서 '반드시'로

각과 넓이에서 시작해 증명이라는 무기를 얻고, 좌표로 대수와 합쳐진다.

평면도형과 각 → 삼각형 내각의 합 180° → 원과 원주율 π → 평행선과 각 → 삼각형의 합동 (SSS, SAS, ASA) → 피타고라스 정리 → 증명이란 무엇인가 → 좌표기하: 거리·중점·직선·원의 방정식 → 삼각함수와 단위원·라디안 → 벡터 → 군: 대칭의 수학 → 비유클리드 기하

④ 변화 — 기울기에서 미분방정식까지

속력 = 거리÷시간에서 시작해 순간의 기울기, 넓이 쌓기, 변화의 법칙 쓰기로.

시간·속력·거리 → 기울기 = 변화율 → 반비례 y=a/x → 수열의 극한과 무한급수 → 함수의 극한 → 미분계수와 도함수 → 접선·증감·극대극소·최적화 → 정적분과 미적분 기본정리 → 합성함수 미분(연쇄법칙)·곱의 미분·음함수 → 다변수 함수와 편미분 → 그래디언트와 경사하강 → AI 학습 → 1계 미분방정식: 변화의 법칙 쓰기 → 2계: 진동과 파동

⑤ 불확실 — 반반에서 베이즈까지

동전 던지기에서 정규분포, 그리고 증거로 믿음을 고치는 법까지.

가능성 (맛보기) → 경우의 수: 합과 곱의 법칙 → 확률 = 경우의 수 / 전체 → 순열·조합·이항정리 → 확률의 정의·조건부확률·독립 → 확률변수·기대값·분산 → 이항분포 → 정규분포 → 표본과 모평균 추정 → 확률 공리와 베이즈 정리 → 큰 수의 법칙과 중심극한정리 → 회귀와 통계적 추론

⑥ 패턴과 계산 — 규칙 찾기에서 알고리즘까지

'다음 항은?'에서 수열, 귀납법, 그리고 컴퓨터가 계산하는 방식으로.

규칙 찾기 → 최대공약수·최소공배수 → 약수·배수·소수(prime) → 등차수열 → 등비수열 → 점화식과 수학적 귀납법 → 알고리즘과 계산 복잡도 → 정수론과 암호(RSA) → 그래프 이론 → 미해결 문제와 수학의 현재

전체 트리

초등 '얼마나'와 '어디에'를 세는 도구를 손에 쥐는 시기

수와 연산

자연수와 자릿값 place value 초1-1 🎛 10개가 모이면 한 칸 왼쪽으로 옮겨 쓰는 약속

왜 중요한가: 모든 계산 규칙(받아올림, 소수, 지수)은 결국 자릿값 규칙이다
예시: 345는 3개의 100, 4개의 10, 5개의 1. 로마 숫자 CCCXLV와 비교하면 자릿값이 왜 천재적인지 보인다
백지에 해볼 것 (A4): 바둑알 37개를 10개씩 묶어 '3묶음 7개'로 쓰기. 그 다음 2진법(2개씩 묶기)으로 같은 수 쓰기 → 컴퓨터는 이렇게 센다

다음: 덧셈·뺄셈과 그 관계 소수 어림과 큰 수 거듭제곱 (맛보기)

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덧셈·뺄셈과 그 관계 addition and subtraction 초1-1 🎛 뺄셈은 덧셈을 거꾸로 돌린 것

왜 중요한가: '거꾸로 돌리기(역연산)'는 방정식·역함수·적분의 뿌리
예시: 7+□=12를 12-7로 푸는 순간이 첫 방정식
백지에 해볼 것 (A4): 수직선에서 +3은 오른쪽 3칸, -3은 왼쪽 3칸. 화살표로 그리기

먼저: 자연수와 자릿값

다음: 곱셈·나눗셈과 그 관계 □가 들어간 식 음수 (맛보기)

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곱셈·나눗셈과 그 관계 multiplication and division 초3 🎛 곱셈은 같은 수를 여러 번 더하기이자 직사각형의 넓이. 나눗셈은 그 거꾸로

왜 중요한가: 곱셈=넓이 그림은 분배법칙, 전개, 인수분해, 적분까지 쓰인다
예시: 3×4를 점 12개의 직사각형으로. 돌리면 4×3 → 교환법칙이 그림으로 증명됨
백지에 해볼 것 (A4): 12×13을 (10+2)×(10+3) 넓이 네 조각으로 잘라 계산 → 훨씬 뒤 (x+2)(x+3)과 똑같은 그림

먼저: 덧셈·뺄셈과 그 관계

다음: 분수 = 나눗셈 = 비율 약수·배수·소수(prime)둘레와 넓이 다항식의 곱셈과 전개 연산 순서와 괄호

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연산 순서와 괄호 order of operations 초5-1 🎛 곱·나눗셈 먼저, 괄호는 '먼저 해달라는 부탁'

왜 중요한가: 식이 하나의 뜻을 가지게 하는 문법. 이게 없으면 대수가 불가능
예시: 2+3×4: 일반 계산기 20, 공학 계산기 14. 왜 다른가
백지에 해볼 것 (A4): 같은 숫자 2,3,4로 괄호 위치만 바꿔 나올 수 있는 답 전부 찾기

먼저: 곱셈·나눗셈과 그 관계

다음: 식의 계산: 동류항·분배법칙 □가 들어간 식

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분수 = 나눗셈 = 비율 fractions 초3 🎛 a/b는 a를 b로 나눈 수이자, 전체 b 중 a의 비율

왜 중요한가: 분수를 '피자 조각'으로만 알면 중학교에서 무너진다. '나눗셈의 결과'로 알아야 한다
예시: 1÷3을 직접 나눠 0.333…을 관찰. ½, 0.5, 50%가 한 수의 세 이름
백지에 해볼 것 (A4): 1÷3 세로 나눗셈을 6자리까지 직접 하며 '끝이 안 난다'를 몸으로 → 7단계 극한의 첫 씨앗

먼저: 곱셈·나눗셈과 그 관계

다음: 분수의 사칙연산 소수 분수·소수·백분율 변환 비와 비율 유리수와 순환소수

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분수의 사칙연산 operations with fractions 초5-2 🎛 같은 단위(분모)로 맞춘 뒤 더하고, 곱셈은 '의(of)'

왜 중요한가: 통분=공통 단위 맞추기, 이 감각이 문자식 계산으로 이어진다
예시: ½ × ⅓ = '⅓의 절반' = ⅙. 그림으로 6칸 중 1칸
백지에 해볼 것 (A4): 직사각형을 가로 2, 세로 3으로 나눠 ½×⅓이 왜 1/6인지 색칠

먼저: 분수 = 나눗셈 = 비율 최대공약수·최소공배수

다음: 정수·유리수의 연산 식의 계산: 동류항·분배법칙 유리함수·무리함수

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소수 decimals 초5-2 🎛 자릿값을 1 아래로 계속 이어간 것(1/10, 1/100…)

왜 중요한가: 실수 체계·측정·근사값의 언어
예시: 0.1 = 1/10, 0.25 = 25/100 = ¼
백지에 해볼 것 (A4): 1m 종이테이프를 10등분, 다시 10등분하며 0.1, 0.01 표시

먼저: 자연수와 자릿값 분수 = 나눗셈 = 비율

다음: 분수·소수·백분율 변환 유리수와 순환소수 근삿값과 오차

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분수·소수·백분율 변환 fractions, decimals, and percents 초6-1 🎛 같은 수의 세 가지 옷

왜 중요한가: 확률·통계·이자·할인이 전부 이 변환
예시: 30% 할인 = 0.7배 = 7/10배
백지에 해볼 것 (A4): 마트 할인표 하나 가져와 세 방식으로 전부 고쳐 쓰기

먼저: 분수 = 나눗셈 = 비율 소수

다음: 비와 비율 확률 = 경우의 수 / 전체 지수의 확장과 지수법칙

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약수·배수·소수(prime) factors, multiples, and primes 초5-1 🎛 나누어떨어지는 수. 더 못 쪼개는 수가 소수

왜 중요한가: 수의 DNA. 인수분해와 암호(RSA)의 뿌리
예시: 12=2×2×3. 12를 직사각형으로 만들 수 있는 방법 = 약수 쌍
백지에 해볼 것 (A4): 1~50 격자에 소수만 색칠(에라토스테네스). 패턴 없음을 확인 → 리만가설 이야기 30초

먼저: 곱셈·나눗셈과 그 관계

다음: 최대공약수·최소공배수 소인수분해 정수론과 암호(RSA)

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최대공약수·최소공배수 GCF and LCM 초5-1 🎛 공통으로 나누는 가장 큰 수 / 공통으로 나눠지는 가장 작은 수

왜 중요한가: 통분·약분·주기 문제의 도구
예시: 두 버스가 6분, 8분마다 → 24분마다 동시 출발
백지에 해볼 것 (A4): 유클리드 호제법 흐름(큰 수를 작은 수로 나눈 나머지 반복)을 48, 18로 직접 → 이게 '알고리즘'

먼저: 약수·배수·소수(prime)

다음: 분수의 사칙연산 알고리즘과 계산 복잡도

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음수 (맛보기) negative numbers 중1 🎛 0보다 작은 수. 방향이 반대인 수

왜 중요한가: y=ax+b에 음수 넣는 숙제를 이미 냈다. 음수 없이는 좌표평면이 반쪽
예시: 지하 2층에서 3층 내려가면 -5층. 영하 3도
백지에 해볼 것 (A4): 수직선에 엘리베이터 층수 붙이기. (-3)+5, 2-6을 화살표로

먼저: 덧셈·뺄셈과 그 관계

다음: 정수·유리수의 연산 좌표 (맛보기)

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어림과 큰 수 estimation and rounding 초4 🎛 대충 얼마인지 자릿수로 잡는 능력

왜 중요한가: 답이 말이 되는지 검산하는 유일한 방법. 공학자의 핵심 기술
예시: 10억을 1초에 하나씩 세면 약 32년
백지에 해볼 것 (A4): 집에 있는 쌀알 개수를 한 컵 세서 어림. 답의 자릿수만 맞추기

먼저: 자연수와 자릿값

다음: 거듭제곱 (맛보기)근삿값과 오차 알고리즘과 계산 복잡도

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비와 비율 ratio and rate 초6-1 🎛 두 양을 나눈 값으로 관계 표현

왜 중요한가: 기울기, 닮음, 삼각비, 확률이 전부 비율
예시: 지도 1:25000. 라면 3개면 물은
백지에 해볼 것 (A4): 레시피 2인분→5인분 표 만들기

먼저: 분수 = 나눗셈 = 비율 분수·소수·백분율 변환

다음: 정비례·반비례 (맛보기)기울기 = 변화율 닮음과 비율 삼각비 sin·cos·tan

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정비례·반비례 (맛보기) direct and inverse variation 초6-2 🎛 하나가 2배면 다른 것도 2배 / 절반

왜 중요한가: 함수의 첫 두 가지 모습. y=ax, y=a/x
예시: 속도 일정: 시간 2배면 거리 2배. 거리 일정: 속도 2배면 시간 절반
백지에 해볼 것 (A4): 표 두 개(정비례·반비례) 만들어 점 찍기. 하나는 직선, 하나는 곡선

먼저: 비와 비율

다음: 일차함수 y=ax+b 반비례 y=a/x 함수 = 기계

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거듭제곱 (맛보기) exponents 중1 🎛 같은 수를 여러 번 곱한 것

왜 중요한가: 지수함수·성장·자릿값(10ⁿ)의 뿌리
예시: 종이 42번 접으면 두께가 달까지
백지에 해볼 것 (A4): 종이 접기 두께 표: 1,2,4,8… 10번 접으면 1024겹. 실제로 7번까지 접어보기

먼저: 자연수와 자릿값 어림과 큰 수

다음: 소인수분해 지수의 확장과 지수법칙 등비수열

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도형과 측정

평면도형과 각 plane figures and angles 초2 🎛 점·선·각으로 이루어진 모양. 각은 두 선이 벌어진 정도

왜 중요한가: 기하의 알파벳
예시: 삼각형·사각형·원. 직각=90°는 '네 번 돌면 한 바퀴'
백지에 해볼 것 (A4): 각도기 없이 종이 접기로 90°, 45°, 22.5° 만들기

다음: 삼각형 내각의 합 180°둘레와 넓이 기본 도형과 작도

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삼각형 내각의 합 180° angle sum of a triangle 초4 🎛 어떤 삼각형이든 세 각을 더하면 직선 하나

왜 중요한가: '항상 그렇다'를 처음 만나는 곳. 증명의 문 앞
예시: 삼각형 종이 세 각을 찢어 한 점에 모으면 직선
백지에 해볼 것 (A4): 삼각형 5개 각을 재서 합이 전부 180 근처인지 표 → '왜 항상?'을 질문으로 남기기

먼저: 평면도형과 각

다음: 평행선과 각 다각형의 내각과 외각 증명이란 무엇인가

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둘레와 넓이 perimeter and area 초5-1 🎛 테두리 길이 / 안에 들어가는 단위 정사각형 개수

왜 중요한가: 넓이=곱셈 그림이 대수·적분으로 간다
예시: 둘레 20인 직사각형은 여러 개, 넓이는 다 다르다 → 나중에 최적화 문제
백지에 해볼 것 (A4): 둘레 20cm 철사로 만들 수 있는 직사각형 넓이 표(가로 1~9). 최대가 정사각형임을 발견

먼저: 곱셈·나눗셈과 그 관계 평면도형과 각

다음: 원과 원주율 π 입체도형: 부피와 겉넓이 다항식의 곱셈과 전개 접선·증감·극대극소·최적화 정적분과 미적분 기본정리

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원과 원주율 π circles and pi (π) 초6-2 🎛 중심에서 같은 거리의 점들. 둘레÷지름은 어떤 원이든 3.14…

왜 중요한가: 측정에서 태어난 수. 삼각함수·라디안·오일러공식까지 간다
예시: 컵, 냄비, 동전 둘레÷지름을 재면 전부 3.1 근처
백지에 해볼 것 (A4): 원을 피자처럼 16조각 잘라 번갈아 붙여 직사각형(가로 πr, 세로 r) → 넓이 πr². 적분의 첫 씨앗

먼저: 둘레와 넓이 소수

다음: 원과 부채꼴 삼각함수와 단위원·라디안 오일러 공식과 복소평면 적분의 활용: 넓이·부피·평균

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입체도형: 부피와 겉넓이 solids: volume and surface area 초5-2 🎛 기둥 부피 = 밑넓이×높이. 뿔은 기둥의 ⅓

왜 중요한가: 3차원 감각. 적분으로 부피 구하는 날의 배경
예시: 아이스크림 콘(뿔) vs 같은 높이 컵(기둥): 컵이 3배
백지에 해볼 것 (A4): 종이 원뿔과 원기둥 만들어 쌀을 부어 3번 들어가는지 확인

먼저: 둘레와 넓이

다음: 입체의 겉넓이와 부피 적분의 활용: 넓이·부피·평균 다중적분

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대칭·이동·회전 congruence and symmetry 초5-2 🎛 모양은 그대로, 위치만 바뀌는 것

왜 중요한가: 함수 그래프 이동(p, q), 행렬(회전), 군론의 뿌리
예시: 알파벳 중 좌우대칭인 것: A, H, M…
백지에 해볼 것 (A4): 모눈종이에 도형 그리고 오른쪽 3칸 이동·위로 2칸·뒤집기 → 좌표가 어떻게 변하는지 표

먼저: 평면도형과 각

다음: y=a(x-p)²+q 평행이동 도형의 이동과 대칭 행렬과 선형변환 군: 대칭의 수학

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좌표 (맛보기) coordinate plane 중1 🎛 위치를 숫자 두 개로 말하는 약속

왜 중요한가: 1일차에 이미 사용. 대수와 기하를 잇는 다리
예시: 보물지도 (3,2). (2,3)과 다르다
백지에 해볼 것 (A4): 교실 자리 배치를 (열, 행)으로 쓰기. 배틀십 게임

먼저: 음수 (맛보기)

다음: 좌표평면

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단위와 환산 units and conversion 초2 🎛 cm↔m, g↔kg. 10, 100, 1000 곱하기

왜 중요한가: 차원 감각. 물리·공학의 기본 위생
예시: 1m² = 10000cm² (100×100). 왜 100이 아닌가
백지에 해볼 것 (A4): 1m² 신문지 위에 1cm² 모눈 그려서 10000개임을 어림으로 확인

먼저: 자연수와 자릿값

다음: 시간·속력·거리 속도와 가속도

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시간·속력·거리 speed, distance, and time 초6-1 🎛 속력 = 거리 ÷ 시간

왜 중요한가: 미분(순간속도)과 적분(속도→거리)의 무대
예시: 60km/h로 2시간 = 120km
백지에 해볼 것 (A4): 거리-시간 표를 점으로 찍으면 직선. 기울기가 속력이라는 걸 미리 심기

먼저: 단위와 환산 비와 비율

다음: 기울기 = 변화율 속도와 가속도 미분계수와 도함수

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규칙과 자료

규칙 찾기 patterns 초1-1 🎛 수열에서 다음 항 맞추기

왜 중요한가: 수열·함수·귀납적 사고의 씨앗
예시: 2,5,8,11 → 3씩. 1,2,4,8 → 2배씩. 1,1,2,3,5 → 앞 둘 합
백지에 해볼 것 (A4): 세 종류 수열 각각 점 찍기: 직선, 폭발, 피보나치. 모양이 다르다

다음: □가 들어간 식 등차수열 등비수열 점화식과 수학적 귀납법

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□가 들어간 식 unknowns in equations 초3 🎛 모르는 수 자리에 빈칸

왜 중요한가: 변수 x의 전 단계. 1일차 y=ax+b에서 이미 x, a, b를 썼다
예시: □×3+2=14
백지에 해볼 것 (A4): □를 x로 바꿔 쓰고 '아무 수나 들어가는 자리'로 의미 확장

먼저: 덧셈·뺄셈과 그 관계 연산 순서와 괄호 규칙 찾기

다음: 변수와 문자 사용 일차방정식

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표와 그래프 tables and graphs 초4 🎛 자료를 한눈에 보이게 그리는 법

왜 중요한가: 모든 함수 그래프, 통계 그림의 시작
예시: 막대(비교), 꺾은선(변화), 원(비율)
백지에 해볼 것 (A4): 일주일 기온을 꺾은선으로. '변화'를 보는 그래프와 '비교'를 보는 그래프 구별

먼저: 분수·소수·백분율 변환

다음: 함수 = 기계 대푯값과 산포도 표본과 모평균 추정

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평균 mean (average) 초5-2 🎛 다 더해서 개수로 나눈 '공평하게 나누기'

왜 중요한가: 통계의 첫 숫자. 나중에 평균이 속이는 경우를 배운다
예시: 키 150,160,170 평균 160. 여기 200이 들어오면?
백지에 해볼 것 (A4): 컵 5개에 물 높이 다르게 → 다 합쳐 다시 나눠 같은 높이 = 평균의 그림

먼저: 분수 = 나눗셈 = 비율

다음: 대푯값과 산포도 확률변수·기대값·분산 적분의 활용: 넓이·부피·평균

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가능성 (맛보기) likelihood and chance 초5-2 🎛 일어날 것 같은 정도를 말로/수로

왜 중요한가: 확률의 입구
예시: 동전 앞면 '반반'. 주사위 6 '여섯 중 하나'
백지에 해볼 것 (A4): 동전 20번 던져 앞면 개수 기록. 정확히 10이 아닌 걸 보고 놀라기

먼저: 분수 = 나눗셈 = 비율

다음: 경우의 수: 합과 곱의 법칙 확률 = 경우의 수 / 전체

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중등 글자를 수처럼 다루고, 함수와 증명이라는 두 무기를 얻는 시기

수와 연산

정수·유리수의 연산 integers and rational numbers 중1 🎛 음수를 포함한 사칙연산. (-)×(-)=(+)

왜 중요한가: 이걸 못 하면 이후 모든 계산이 무너진다
예시: (-3)×(-2)=6: 빚 3만원이 2번 사라지면 6만원 이득
백지에 해볼 것 (A4): 3×2, 3×1, 3×0, 3×(-1), 3×(-2) 패턴 이어가기. 그 다음 (-3)×2…(-3)×(-2)를 같은 방식으로 발견

먼저: 음수 (맛보기)분수의 사칙연산

다음: 식의 계산: 동류항·분배법칙 일차방정식 좌표평면

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소인수분해 prime factorization 중1 🎛 수를 소수의 곱으로 유일하게 쪼개기

왜 중요한가: 산술의 기본정리. 인수분해·암호의 뿌리
예시: 360=2³×3²×5. 약수 개수 = (3+1)(2+1)(1+1)=24
백지에 해볼 것 (A4): 큰 수 하나(예: 1001)를 트리로 쪼개기 → 7×11×13. 어떤 순서로 쪼개도 결과 같음 확인

먼저: 약수·배수·소수(prime)거듭제곱 (맛보기)

다음: 인수분해 정수론과 암호(RSA)

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유리수와 순환소수 repeating decimals 중2 🎛 분수는 유한소수 또는 순환소수. 순환소수는 분수로 되돌릴 수 있다

왜 중요한가: 0.999…=1로 가는 길. 실수 체계 이해의 관문
예시: x=0.333…, 10x-x=3, x=⅓
백지에 해볼 것 (A4): 1/7을 손으로 나눠 142857 순환 발견. 그 다음 0.999…=1 증명

먼저: 분수 = 나눗셈 = 비율 소수

다음: 제곱근과 무리수 실수 체계 수열의 극한과 무한급수

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제곱근과 무리수 square roots and irrational numbers 중3 🎛 제곱해서 a가 되는 수. √2는 분수로 쓸 수 없다

왜 중요한가: 수 체계에 구멍이 있음을 처음 발견. 피타고라스 학파가 숨기려 했던 사실
예시: 한 변 1인 정사각형 대각선 = √2 = 1.41421356…
백지에 해볼 것 (A4): √2가 분수가 아님을 짝·홀로 증명(맛보기). 그리고 √2를 1.4, 1.41, 1.414로 조여가기

먼저: 유리수와 순환소수 피타고라스 정리

다음: 실수 체계 유리함수·무리함수 완전제곱과 근의 공식

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실수 체계 the real number system 중3 🎛 자연수→정수→유리수→실수. 수직선을 빈틈없이 채우는 수

왜 중요한가: 각 확장은 '못 하던 계산'을 가능하게 한 역사
예시: 5-7(정수 필요), 1÷3(유리수), x²=2(무리수), x²=-1(복소수: 고등)
백지에 해볼 것 (A4): 상자 4개 겹쳐 그리기. 각 상자에 '이 상자 밖으로 나가야 풀리는 문제' 한 개씩 쓰기

먼저: 정수·유리수의 연산 제곱근과 무리수

다음: 복소수와 i 해석학 입문: ε-δ와 실수의 완비성 무한의 크기: 칸토어

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근삿값과 오차 approximation and error 중3 🎛 참값 대신 쓰는 값, 그 차이

왜 중요한가: 측정·공학·컴퓨터 계산의 현실
예시: π≈3.14, 오차 0.0016. 유효숫자
백지에 해볼 것 (A4): √2를 1.4, 1.41, 1.414로 제곱해 2에 얼마나 가까운지 표

먼저: 소수 어림과 큰 수

다음: 함수의 극한 테일러 급수

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문자와 식

변수와 문자 사용 variables 중1 🎛 x는 '모르는 수'가 아니라 '아무 수나 들어갈 자리'

왜 중요한가: 대수의 입구. 규칙을 숫자 없이 한 번에 말하는 능력
예시: '어떤 수에 3 더하기' = x+3. x에 5, 100, -2 넣어보기
백지에 해볼 것 (A4): 나이 문제: '아빠는 네 나이 4배보다 2 적다' → 4x-2. 문장→식 번역 5개

먼저: □가 들어간 식

다음: 식의 계산: 동류항·분배법칙 일차방정식 함수 = 기계 집합

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식의 계산: 동류항·분배법칙 simplifying expressions 중1 🎛 같은 종류(x끼리, 상수끼리)만 더한다. a(b+c)=ab+ac

왜 중요한가: 모든 대수 조작의 문법
예시: 3x+2x=5x는 '사과 3개+사과 2개'. 3x+2는 '사과 3개+귤 2개' → 못 합침
백지에 해볼 것 (A4): 2(x+3)을 넓이 그림으로: 가로 2, 세로 x+3 → 2x+6

먼저: 변수와 문자 사용 정수·유리수의 연산 연산 순서와 괄호

다음: 일차방정식 다항식의 곱셈과 전개 다항식의 연산과 나머지정리

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일차방정식 linear equations 중1 🎛 양팔 저울. 양쪽에 같은 짓을 하면 균형 유지

왜 중요한가: '이항하면 부호 바뀐다'는 암기가 아니라 '양쪽에서 같은 수 빼기'로 잡아야 나중에 안 무너진다
예시: 2x+3=11 → 양쪽 -3 → 2x=8 → 양쪽 ÷2 → x=4
백지에 해볼 것 (A4): 저울 그림으로 3문제. 마지막엔 저울 안 그리고 '양쪽에 뭐 했지?'만 말하며 풀기

먼저: 변수와 문자 사용 식의 계산: 동류항·분배법칙

다음: 일차부등식 연립일차방정식 이차방정식 일차함수 y=ax+b

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일차부등식 linear inequalities 중2 🎛 등호 대신 <, >. 음수 곱하면 방향 뒤집힘

왜 중요한가: 범위·조건·최적화의 언어
예시: 3>2에 -1 곱하면 -3<-2. 수직선에서 확인
백지에 해볼 것 (A4): 수직선에 x>2 색칠. 용돈 문제: '5000원으로 800원 과자 최대 몇 개'

먼저: 일차방정식

다음: 이차부등식·절댓값 부등식 그래디언트와 경사하강 → AI 학습

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연립일차방정식 systems of linear equations 중2 🎛 두 조건을 동시에 만족하는 (x, y)

왜 중요한가: 두 직선의 교점과 같은 것(함수 파트에서 만남). 행렬의 출발
예시: 닭+토끼 머리 10, 다리 28 → 닭 6, 토끼 4
백지에 해볼 것 (A4): 표로 먼저(닭 0~10), 그 다음 식으로. 두 방법 답이 같음

먼저: 일차방정식

다음: 두 직선의 교점 = 연립방정식 행렬과 선형변환

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다항식의 곱셈과 전개 multiplying polynomials (expanding) 중3 🎛 (x+2)(x+3) = x²+5x+6. 넓이 네 조각

왜 중요한가: 이차식의 탄생. 곱셈공식은 외우는 게 아니라 그림
예시: (a+b)² = a²+2ab+b²: 정사각형을 넷으로 나눈 그림
백지에 해볼 것 (A4): 12×13 넓이 그림 옆에 (x+2)(x+3) 넓이 그림 나란히. 똑같다

먼저: 곱셈·나눗셈과 그 관계 식의 계산: 동류항·분배법칙 둘레와 넓이

다음: 인수분해 y=ax²+bx+c와 꼭짓점 다항식의 연산과 나머지정리 순열·조합·이항정리

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인수분해 factoring 중3 🎛 전개를 거꾸로. 조각을 모아 직사각형 만들기

왜 중요한가: 이차방정식 풀이의 첫 도구
예시: x²+5x+6: 곱해서 6, 더해서 5인 두 수 → (x+2)(x+3)
백지에 해볼 것 (A4): x² 타일 1개, x 타일 5개, 1 타일 6개를 실제로 잘라 직사각형 만들기

먼저: 다항식의 곱셈과 전개 소인수분해

다음: 이차방정식 다항식의 연산과 나머지정리

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이차방정식 quadratic equations 중3 🎛 x²이 들어간 방정식. 답이 2개, 1개, 0개

왜 중요한가: 포물선이 땅에 닿는 시간, 넓이 문제
예시: x²-5x+6=0 → (x-2)(x-3)=0 → x=2 또는 3
백지에 해볼 것 (A4): 인수분해로 풀고, 같은 식의 그래프를 그려 x축 만나는 곳이 2, 3인지 확인 → '방정식의 해 = 그래프가 땅에 닿는 곳'

먼저: 인수분해 일차방정식

다음: 완전제곱과 근의 공식 y=ax²+bx+c와 꼭짓점 이차방정식·이차함수 종합: 판별식, 근과 계수

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완전제곱과 근의 공식 completing the square and the quadratic formula 중3 🎛 x²+6x에 9를 더하면 (x+3)². 이 기술로 모든 이차방정식을 푼다

왜 중요한가: 근의 공식은 외우는 것이 아니라 만드는 것
예시: ax²+bx+c=0을 완전제곱으로 정리하면 x = (-b±√(b²-4ac))/2a가 '나온다'
백지에 해볼 것 (A4): x²+6x를 타일로 놓고 정사각형 완성에 몇 개 필요한지(9). 그 다음 문자 그대로 ax²+bx+c에 같은 짓

먼저: 이차방정식 다항식의 곱셈과 전개 제곱근과 무리수

다음: 이차방정식·이차함수 종합: 판별식, 근과 계수 복소수와 i

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함수

좌표평면 the coordinate plane 중1 🎛 수직선 두 개를 직각으로. 점 = (x, y)

왜 중요한가: 대수(식)와 기하(그림)를 하나로 만든 데카르트의 발명
예시: (3,2)와 (2,3), (-3,2). 네 사분면의 부호
백지에 해볼 것 (A4): 1일차에 이미 사용. 네 사분면에 점 하나씩 찍고 부호 규칙 스스로 정리

먼저: 좌표 (맛보기)정수·유리수의 연산

다음: 함수 = 기계 일차함수 y=ax+b 좌표기하: 거리·중점·직선·원의 방정식

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함수 = 기계 functions 중1 🎛 넣으면 딱 하나 나오는 기계. 표·식·그래프는 같은 기계의 세 장의 사진

왜 중요한가: 이 문서 전체의 심장. 이후 모든 것은 '기계를 바꾸는 것'
예시: 자판기는 함수(500원→콜라). 콜라·사이다 둘 다 나오면 고장=함수 아님. 세로선 x=3도 함수 아님
백지에 해볼 것 (A4): 상자 그림. '3 넣으면 7, 5 넣으면 11' 규칙 맞추기 놀이 3번. f(x) 기호: 괄호는 곱하기가 아니라 '넣기'

먼저: 변수와 문자 사용 정비례·반비례 (맛보기)표와 그래프 좌표평면

다음: 일차함수 y=ax+b 반비례 y=a/x 이차함수 y=ax² 합성함수와 역함수 집합 선형대수와 AI

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일차함수 y=ax+b ★ 1일차 linear functions, y = mx + b 중2 🎛 a는 기울기(가파름), b는 y절편(출발점)

왜 중요한가: 가장 단순한 함수. 이 실험 구조(하나만 바꿔 점 찍기)가 이차·지수·삼각 전부에 재사용된다
예시: 택시요금 = 거리당 요금×거리 + 기본요금. 오늘(9/5) a=1,½ b=0,1 찍었고 음수는 숙제
백지에 해볼 것 (A4): a=-2,-1,-½,0,½,1,2 부채 그리기. a=0은 수평선. 세로선은 왜 안 되나

먼저: 함수 = 기계 좌표평면 정비례·반비례 (맛보기)일차방정식

다음: 기울기 = 변화율 두 직선의 교점 = 연립방정식 이차함수 y=ax² 등차수열 미분계수와 도함수 최소제곱과 회귀직선

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기울기 = 변화율 slope (rate of change) 중2 🎛 오른쪽 1칸 갈 때 위로 몇 칸. (y 변화)/(x 변화)

왜 중요한가: '변화율'이라는 단어를 여기서 처음 준다. 미분은 이걸 곡선에서 하는 것
예시: 계단 한 칸 높이÷깊이. 두 점 (1,3),(3,7)에서 (7-3)/(3-1)=2
백지에 해볼 것 (A4): 집 계단을 실제로 재서 식 쓰기. 집안에서 a와 b 있는 것 3개 찾기(요금제, 용돈 규칙)

먼저: 일차함수 y=ax+b 비와 비율 시간·속력·거리

다음: 미분계수와 도함수 속도와 가속도 그래디언트와 경사하강 → AI 학습

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두 직선의 교점 = 연립방정식 intersection of two lines 중2 🎛 두 그래프가 만나는 점이 두 식의 공통 해

왜 중요한가: 대수(계산)와 기하(그림)가 같은 답을 내는 첫 경험
예시: 택시 A: 3000+1000x, B: 1000+1500x → 4km에서 같음. 평행이면 해 없음
백지에 해볼 것 (A4): 두 택시 그려 교점 찍고, 저울로 풀어 같은지 확인. 아이 얼굴 보기

먼저: 일차함수 y=ax+b 연립일차방정식

다음: 좌표기하: 거리·중점·직선·원의 방정식 행렬과 선형변환

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반비례 y=a/x inverse variation, y = k/x 중1 🎛 곱이 일정. 직선이 아닌 첫 함수(쌍곡선)

왜 중요한가: 곡선 첫 경험. 0에 한없이 붙지만 닿지 않음 → 극한의 씨앗
예시: 넓이 12인 직사각형의 가로·세로. 속도 2배면 시간 절반
백지에 해볼 것 (A4): x=1..12, -1..-12 표로 점 찍기. x=0은 왜 못 넣나(0으로 나누기)

먼저: 함수 = 기계 정비례·반비례 (맛보기)

다음: 유리함수·무리함수 함수의 극한

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이차함수 y=ax² quadratic functions, y = ax² 중3 🎛 U자(포물선). a는 폭과 방향

왜 중요한가: 1일차 실험을 그대로 반복해 '아는 방식'임을 느끼게 하는 장
예시: a=1,2,½,-1. 공 던지기, 분수, 위성 안테나
백지에 해볼 것 (A4): 1일차 종이 옆에 두고 똑같이: a만 바꿔 점 찍기. 아이가 먼저 '음수 넣어볼까' 하면 끝

먼저: 일차함수 y=ax+b 다항식의 곱셈과 전개

다음: y=a(x-p)²+q 평행이동 y=ax²+bx+c와 꼭짓점 이차방정식·이차함수 종합: 판별식, 근과 계수 접선·증감·극대극소·최적화 이차곡선: 포물선·타원·쌍곡선

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y=a(x-p)²+q 평행이동 vertex form, y = a(x−h)² + k 중3 🎛 p는 좌우, q는 상하. (x-2)가 왜 오른쪽 이동인가

왜 중요한가: 모든 함수의 이동 규칙이 동일. 도형의 이동과 연결
예시: y=(x-2)²: x=2 넣어야 원래 x=0일 때 값이 나옴 → 2칸 늦게 = 오른쪽
백지에 해볼 것 (A4): y=x², y=(x-2)², y=(x+1)²+3 표로 만들어 어디로 갔는지 발견

먼저: 이차함수 y=ax² 대칭·이동·회전

다음: y=ax²+bx+c와 꼭짓점 도형의 이동과 대칭 삼각함수 그래프 = 파동

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y=ax²+bx+c와 꼭짓점 standard form and the vertex 중3 🎛 완전제곱으로 고쳐 꼭짓점(최대·최소) 찾기

왜 중요한가: 최적화의 첫 도구. 미분 없이 최대 찾기
예시: 둘레 20 직사각형 넓이 x(10-x) 최대는 x=5
백지에 해볼 것 (A4): 철사 20cm 우리 넓이를 식→완전제곱→꼭짓점. 초등 때 표로 찾은 답과 일치

먼저: y=a(x-p)²+q 평행이동 완전제곱과 근의 공식 이차방정식

다음: 이차방정식·이차함수 종합: 판별식, 근과 계수 접선·증감·극대극소·최적화

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절댓값과 y=|x| absolute value 중3 🎛 0에서의 거리. V자 그래프

왜 중요한가: '거리'의 함수. 꺾이는 점 = 미분 불가능 첫 예
예시: |-3|=|3|=3. |x-2|<1은 2에서 거리 1 안
백지에 해볼 것 (A4): y=|x|, y=|x-2|, y=|x|+1 점 찍기. 꼭짓점에서 기울기가 갑자기 바뀜 → 나중에 미분에서 문제

먼저: 정수·유리수의 연산 일차함수 y=ax+b

다음: 이차부등식·절댓값 부등식 연속 해석학 입문: ε-δ와 실수의 완비성

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기하

기본 도형과 작도 basic constructions 중1 🎛 점·선·면. 컴퍼스와 눈금 없는 자만으로 그리기

왜 중요한가: 유클리드 방식. '허용된 도구'로만 하는 게임이 곧 수학
예시: 수직이등분선, 각의 이등분선 작도
백지에 해볼 것 (A4): 컴퍼스로 정삼각형·정육각형 작도. 각도기 없이 60°가 나오는 이유

먼저: 평면도형과 각

다음: 삼각형의 합동 (SSS, SAS, ASA)원과 부채꼴 증명이란 무엇인가

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평행선과 각 parallel lines and angles 중1 🎛 평행선을 자르면 동위각·엇각이 같다

왜 중요한가: 삼각형 내각합 180° 증명의 도구
예시: 삼각형 한 꼭짓점에 평행선 그으면 세 각이 직선 위에 모인다
백지에 해볼 것 (A4): 초등 때 찢어 붙인 것을 이번엔 평행선으로 증명. '확인'과 '증명'의 차이 첫 경험

먼저: 삼각형 내각의 합 180°

다음: 다각형의 내각과 외각 증명이란 무엇인가 닮음과 비율

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삼각형의 합동 (SSS, SAS, ASA) triangle congruence (SSS, SAS, ASA) 중2 🎛 세 조건만 같으면 삼각형이 하나로 결정된다

왜 중요한가: '결정된다'는 개념. 왜 삼각형 구조가 안 흔들리는가
예시: 빨대 3개로 삼각형은 한 가지, 4개로 사각형은 여러 모양
백지에 해볼 것 (A4): 빨대·실로 삼각형과 사각형 만들어 흔들기. 철탑·다리가 삼각형인 이유

먼저: 기본 도형과 작도

다음: 삼각형의 성질: 외심·내심·무게중심 사각형의 성질 증명이란 무엇인가

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다각형의 내각과 외각 interior and exterior angles of polygons 중1 🎛 n각형 내각합 = 180(n-2). 외각합은 항상 360

왜 중요한가: 패턴에서 공식 만들기. 원(360°)과 연결
예시: 오각형 540°. 외각합이 항상 360인 것은 '한 바퀴 돌기'
백지에 해볼 것 (A4): 사각형·오각형·육각형을 삼각형으로 쪼개 표 → 공식 발견. 그 다음 다각형 둘레를 걸으며 '총 회전 = 360°'

먼저: 삼각형 내각의 합 180°평행선과 각

다음: 원의 성질: 원주각·접선

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원과 부채꼴 circles and sectors 중1 🎛 호의 길이·부채꼴 넓이는 중심각에 비례

왜 중요한가: 라디안의 준비. 비례가 기하에 들어오는 지점
예시: 중심각 90° 부채꼴 = 원의 ¼
백지에 해볼 것 (A4): 피자 한 조각 각도 재서 전체의 몇 분의 몇인지

먼저: 원과 원주율 π 기본 도형과 작도

다음: 원의 성질: 원주각·접선 삼각함수와 단위원·라디안

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입체의 겉넓이와 부피 surface area and volume of solids 중1 🎛 전개도로 겉넓이, 밑넓이×높이로 부피. 구는 4/3πr³

왜 중요한가: 공간 감각. 적분으로 유도하는 날의 목표값
예시: 구 겉넓이 4πr² = 원 4개
백지에 해볼 것 (A4): 오렌지 껍질을 벗겨 같은 반지름 원 몇 개 채워지는지(약 4개)

먼저: 입체도형: 부피와 겉넓이 원과 원주율 π

다음: 적분의 활용: 넓이·부피·평균 공간도형과 공간좌표

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삼각형의 성질: 외심·내심·무게중심 circumcenter, incenter, and centroid 중2 🎛 세 변의 수직이등분선은 한 점(외심)에서 만난다 등

왜 중요한가: '항상 한 점에서 만난다'는 놀라움. 증명 훈련
예시: 삼각형 종이를 손가락 위에 균형 잡으면 무게중심
백지에 해볼 것 (A4): 종이 삼각형 무게중심을 작도로 찾고 손가락에 올려보기

먼저: 삼각형의 합동 (SSS, SAS, ASA)

다음: 좌표기하: 거리·중점·직선·원의 방정식 벡터

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사각형의 성질 properties of quadrilaterals 중2 평행사변형→직사각형→정사각형. 조건이 추가될수록 특별해진다

왜 중요한가: '포함관계'와 정의의 정확성
예시: 정사각형은 직사각형인가? 예(직사각형 조건을 모두 만족)
백지에 해볼 것 (A4): 사각형 가족 벤다이어그램 그리기

먼저: 삼각형의 합동 (SSS, SAS, ASA)

다음: 집합 명제·조건·증명법

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닮음과 비율 similarity 중3 🎛 모양 같고 크기 다름. 대응변의 비가 일정

왜 중요한가: 삼각비, 축척, 그림자로 높이 재기. 미분에서 '작은 삼각형' 논법
예시: 탈레스가 그림자로 피라미드 높이를 잰 방법
백지에 해볼 것 (A4): 막대 하나와 그림자 길이로 건물 높이 재기

먼저: 비와 비율 평행선과 각

다음: 삼각비 sin·cos·tan 피타고라스 정리 삼각함수와 단위원·라디안

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피타고라스 정리 ★ the Pythagorean theorem 중3 🎛 직각삼각형에서 a²+b²=c²

왜 중요한가: 아이가 스스로 증명하는 첫 정리. 거리 공식·삼각함수·벡터 크기의 뿌리
예시: 3-4-5, 5-12-13. 운동장 30×40 대각선 50. TV 55인치는 대각선
백지에 해볼 것 (A4): 직각삼각형 4개를 (a+b) 정사각형 안에 배치 → 가운데 c². 식 정리는 아이가. 40분 잡기

먼저: 둘레와 넓이 다항식의 곱셈과 전개 닮음과 비율

다음: 제곱근과 무리수 삼각비 sin·cos·tan 좌표기하: 거리·중점·직선·원의 방정식 벡터 벡터공간·기저·차원

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삼각비 sin·cos·tan trigonometric ratios (sine, cosine, tangent) 중3 🎛 같은 각의 직각삼각형은 변의 비가 같다(닮음). 그 비에 이름

왜 중요한가: 각도만 알면 비율이 정해진다는 발견. 삼각함수의 전 단계
예시: sin30°=½: 정삼각형을 반으로 접으면 그림에서 보임
백지에 해볼 것 (A4): 각도 30°인 직각삼각형 크기별로 3개 그려 대변/빗변 재기 → 전부 0.5

먼저: 닮음과 비율 비와 비율 피타고라스 정리

다음: 삼각함수와 단위원·라디안 사인법칙·코사인법칙

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원의 성질: 원주각·접선 inscribed angles and tangents 중3 🎛 같은 호의 원주각은 같다. 지름 위 원주각은 90°

왜 중요한가: '왜 항상?'의 보고. 증명 훈련의 정점
예시: 반원에 삼각형 그리면 항상 직각
백지에 해볼 것 (A4): 컴퍼스로 원 그리고 지름 위 점 5개에서 각 재기 → 전부 90°. 그 다음 왜인지 증명

먼저: 원과 부채꼴 다각형의 내각과 외각

다음: 좌표기하: 거리·중점·직선·원의 방정식 이차곡선: 포물선·타원·쌍곡선

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증명이란 무엇인가 proof 중2 🎛 정의·정리·증명 구분. '맞는 것 같다'와 '반드시 맞다'

왜 중요한가: 수학이 다른 과목과 다른 단 하나의 이유
예시: 예시 100개 맞아도 증명이 아니다. n²-n+41은 n=1..40 전부 소수인데 41에서 깨진다
백지에 해볼 것 (A4): '모든 홀수의 제곱은 홀수'를 2k+1로 증명. 아이가 첫 문자 증명을 쓴 날

먼저: 삼각형 내각의 합 180°평행선과 각 삼각형의 합동 (SSS, SAS, ASA)기본 도형과 작도

다음: 명제·조건·증명법 점화식과 수학적 귀납법 증명법 총정리

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확률과 통계

경우의 수: 합과 곱의 법칙 counting principles 중2 🎛 동시에 일어나면 곱하고, 둘 중 하나면 더한다

왜 중요한가: 확률의 분모. 나무그림
예시: 옷 3벌×바지 2개 = 6가지
백지에 해볼 것 (A4): 옷장 실제 조합을 나무그림으로

먼저: 가능성 (맛보기)곱셈·나눗셈과 그 관계

다음: 확률 = 경우의 수 / 전체 순열·조합·이항정리

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확률 = 경우의 수 / 전체 probability 중2 🎛 0~1 사이 수. 여사건 1-p

왜 중요한가: 불확실을 숫자로 바꾸는 첫 도구
예시: 주사위 두 개 합 표(6×6): 7이 6가지로 가장 많다 → 모노폴리에서 7이 자주 나오는 이유
백지에 해볼 것 (A4): 6×6 표 채우고 합별 개수 막대그래프 → 삼각형 모양. 정규분포의 예고

먼저: 경우의 수: 합과 곱의 법칙 분수·소수·백분율 변환

다음: 확률의 정의·조건부확률·독립 확률변수·기대값·분산 확률 공리와 베이즈 정리

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대푯값과 산포도 measures of center and spread 중1 🎛 평균·중앙값·최빈값 / 분산·표준편차

왜 중요한가: 평균이 속이는 경우(연봉). 퍼짐을 재는 법
예시: 연봉 평균 5000인데 대부분 3000: CEO 한 명이 끌어올림 → 중앙값
백지에 해볼 것 (A4): 가족 5명 키로 평균·중앙값. 농구선수 한 명 추가하면 뭐가 얼마나 바뀌나

먼저: 평균 표와 그래프

다음: 확률변수·기대값·분산 정규분포 회귀와 통계적 추론

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산점도와 상관관계 scatter plots and correlation 중3 🎛 두 변수 점 찍기. 같이 움직이는가

왜 중요한가: 회귀·AI의 입구. '같이 움직여도 원인은 아니다'
예시: 아이스크림 판매와 익사 사고: 둘 다 여름 때문
백지에 해볼 것 (A4): 가족 키와 발 크기 점 찍기. 대충 직선 긋기 → 회귀의 씨앗

먼저: 좌표평면 대푯값과 산포도

다음: 최소제곱과 회귀직선 회귀와 통계적 추론

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고등 변화(미적분)와 불확실(확률)을 다루는 시기

공통수학: 대수

다항식의 연산과 나머지정리 polynomial division and the remainder theorem 고1 🎛 다항식도 수처럼 나눈다. f(a) = (x-a)로 나눈 나머지

왜 중요한가: 인수정리로 고차방정식 풀이
예시: x³-6x²+11x-6에 1 넣으면 0 → (x-1)이 인수
백지에 해볼 것 (A4): 수의 나눗셈 17÷5=3…2 옆에 다항식 나눗셈을 같은 형식으로

먼저: 다항식의 곱셈과 전개 인수분해 식의 계산: 동류항·분배법칙

다음: 삼차·사차방정식과 연립이차 테일러 급수

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복소수와 i complex numbers and i 고1 🎛 i²=-1. 실수직선 밖으로 나간 수

왜 중요한가: 판별식<0에서 '답 없음'이라던 문제가 풀린다. i는 90° 회전
예시: x²+1=0의 해 ±i. (1+i)²=2i
백지에 해볼 것 (A4): 복소평면. 1에 i 곱하면 i(90° 회전), 또 곱하면 -1(180°). 회전으로 보이면 i²=-1이 당연해짐

먼저: 실수 체계 완전제곱과 근의 공식

다음: 이차방정식·이차함수 종합: 판별식, 근과 계수 오일러 공식과 복소평면 고유값·고유벡터

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이차방정식·이차함수 종합: 판별식, 근과 계수 the discriminant and roots 고1 🎛 D=b²-4ac의 부호 = 그래프가 x축과 만나는 횟수. 두 근의 합 -b/a, 곱 c/a

왜 중요한가: 방정식·함수·그래프가 하나로 묶이는 곳
예시: D<0이면 포물선이 공중에 떠 있음
백지에 해볼 것 (A4): a,b,c를 바꾸며 D 계산 + 그래프 그려서 0,1,2번 만남 확인

먼저: 이차방정식 완전제곱과 근의 공식 y=ax²+bx+c와 꼭짓점 복소수와 i

다음: 삼차·사차방정식과 연립이차 이차부등식·절댓값 부등식 이차곡선: 포물선·타원·쌍곡선

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삼차·사차방정식과 연립이차 higher-degree equations 고1 🎛 인수정리로 차수 낮추기

왜 중요한가: 5차 이상은 공식이 없다(갈루아) → 대학 대수 이야기
예시: x³=1의 해 3개 중 2개는 복소수
백지에 해볼 것 (A4): x³-1을 인수분해해 해 3개 복소평면에 찍기 → 정삼각형

먼저: 다항식의 연산과 나머지정리 이차방정식·이차함수 종합: 판별식, 근과 계수

다음: 군: 대칭의 수학

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이차부등식·절댓값 부등식 quadratic and absolute value inequalities 고1 🎛 그래프가 x축 위/아래인 구간

왜 중요한가: 조건·범위를 다루는 언어. 최적화의 제약조건
예시: x²-5x+6<0 ↔ 2<x<3 (포물선이 땅 아래)
백지에 해볼 것 (A4): 부등식을 풀지 말고 그래프 그려서 색칠로 답 읽기

먼저: 일차부등식 이차방정식·이차함수 종합: 판별식, 근과 계수 절댓값과 y=|x|

다음: 접선·증감·극대극소·최적화 그래디언트와 경사하강 → AI 학습

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공통수학: 기하

좌표기하: 거리·중점·직선·원의 방정식 coordinate geometry: lines and circles 고1 🎛 두 점 거리 = 피타고라스. 원 = 중심에서 거리 r인 점들 → x²+y²=r²

왜 중요한가: 기하 전부를 대수로 바꾸는 데카르트의 완성
예시: (1,2)와 (4,6) 거리 5. 원 (x-1)²+(y-2)²=9
백지에 해볼 것 (A4): 원의 방정식이 피타고라스인 걸 그림으로. 원 위 점 5개가 식을 만족하는지 확인

먼저: 좌표평면 피타고라스 정리 두 직선의 교점 = 연립방정식 삼각형의 성질: 외심·내심·무게중심 원의 성질: 원주각·접선

다음: 이차곡선: 포물선·타원·쌍곡선 벡터 도형의 이동과 대칭

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도형의 이동과 대칭 transformations of figures 고1 🎛 f(x-p)+q, f(-x), -f(x). 모든 함수에 같은 규칙

왜 중요한가: m-quad-shift의 일반화. 행렬 변환의 준비
예시: y=f(-x)는 y축 대칭, y=-f(x)는 x축 대칭
백지에 해볼 것 (A4): 아무 함수 하나 그리고 네 가지 변환 전부 겹쳐 그리기

먼저: y=a(x-p)²+q 평행이동 대칭·이동·회전 좌표기하: 거리·중점·직선·원의 방정식

다음: 삼각함수 그래프 = 파동 행렬과 선형변환

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공통수학: 집합과 논리

집합 sets 고1 🎛 모임. 합집합·교집합·여집합. 벤다이어그램

왜 중요한가: 현대수학의 언어. 함수는 두 집합 사이 대응으로 재정의
예시: 짝수∩3의 배수 = 6의 배수
백지에 해볼 것 (A4): 가족 취향(좋아하는 음식) 벤다이어그램

먼저: 변수와 문자 사용 사각형의 성질 함수 = 기계

다음: 명제·조건·증명법 합성함수와 역함수 확률의 정의·조건부확률·독립 무한의 크기: 칸토어

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명제·조건·증명법 logic and methods of proof 고1 🎛 참/거짓 판단 가능한 문장. 역·이·대우. 귀류법

왜 중요한가: 증명의 문법. '모든 백조는 하얗다'의 부정은 '하얀 것이 아닌 백조가 존재'
예시: '비가 오면 땅이 젖는다'의 역은 거짓. 대우는 참
백지에 해볼 것 (A4): √2가 무리수임을 귀류법으로 완전히 쓰기(중학 맛보기를 정식으로)

먼저: 증명이란 무엇인가 집합

다음: 점화식과 수학적 귀납법 증명법 총정리 괴델 불완전성 (이야기)

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공통수학: 함수

합성함수와 역함수 composite and inverse functions 고1 🎛 기계 두 대 연결 f(g(x)). 역함수는 기계를 거꾸로 돌리기(y=x 대칭)

왜 중요한가: 로그(지수의 역), 삼각함수 역, 연쇄법칙의 준비
예시: 먼저 2배 후 +3 vs 먼저 +3 후 2배 → 다르다
백지에 해볼 것 (A4): 기계 두 대 상자 그림 연결. 순서 바꿔 값 비교. 그 다음 거꾸로 돌리기

먼저: 함수 = 기계 집합

다음: 로그 = 지수 거꾸로 합성함수 미분(연쇄법칙)·곱의 미분·음함수 선형대수와 AI

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유리함수·무리함수 rational and radical functions 고1 🎛 y=1/(x-1) 같은 분수 꼴, y=√x 같은 근호 꼴

왜 중요한가: 점근선 = 극한. 정의역 개념
예시: y=1/x는 x=0에 못 가고 y=0에 한없이 붙음
백지에 해볼 것 (A4): y=1/x에 x=0.1, 0.01, 0.001 넣어 폭발 관찰 → 점근선

먼저: 반비례 y=a/x 제곱근과 무리수 분수의 사칙연산

다음: 함수의 극한

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공통수학: 확률통계

순열·조합·이항정리 permutations, combinations, and the binomial theorem 고1 🎛 순서 있는 뽑기 nPr, 없는 뽑기 nCr. (a+b)ⁿ 계수 = 파스칼 삼각형

왜 중요한가: 세기의 완성. 이항분포·정규분포로 직결
예시: 4명 줄 세우기 24, 4명 중 2명 뽑기 6. 로또 45C6=8145060
백지에 해볼 것 (A4): 파스칼 삼각형 8줄 쓰고 (a+b)³ 전개 계수와 비교. 동전 3개 던져 앞면 개수 경우와도 비교

먼저: 경우의 수: 합과 곱의 법칙 다항식의 곱셈과 전개

다음: 확률의 정의·조건부확률·독립 이항분포 조합론 심화 (구경)

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수학Ⅰ: 지수와 로그

지수의 확장과 지수법칙 exponents and exponent rules 고2 🎛 2⁰=1, 2⁻¹=½, 2^½=√2. 패턴을 뒤로 이어서 발견

왜 중요한가: 정의가 아니라 발견. 지수함수의 문법
예시: 8,4,2,?,½ → 1. 2^½×2^½=2 → √2
백지에 해볼 것 (A4): 2ⁿ 표를 n=5부터 -3까지. 절반씩 줄이며 0제곱·음수제곱 발견

먼저: 거듭제곱 (맛보기)분수·소수·백분율 변환

다음: 지수함수·로그함수 그래프 로그 = 지수 거꾸로 등비수열

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로그 = 지수 거꾸로 logarithms 고2 🎛 log₂64 = '2를 몇 번 곱해야 64인가' = 6

왜 중요한가: 지수함수의 역함수. 큰 범위를 한 종이에 넣는 기술
예시: 지진 규모 7은 6보다 약 32배 에너지. pH, 데시벨
백지에 해볼 것 (A4): 지수표를 옆으로 읽으면 로그표. '몇 번 접어야 두께 1km' = log₂(10⁷)

먼저: 지수의 확장과 지수법칙 합성함수와 역함수

다음: 지수함수·로그함수 그래프 삼각·지수·로그함수의 미분과 e 알고리즘과 계산 복잡도

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지수함수·로그함수 그래프 exponential and logarithmic functions 고2 🎛 y=2ˣ는 폭발, y=log₂x는 그 y=x 대칭

왜 중요한가: 더하기로 자라는 것(직선)과 곱하기로 자라는 것(지수)의 차이. 세상의 성장·붕괴 전부
예시: 매일 1000원 vs 1원부터 2배: 30일 뒤 5억. 복리 72법칙
백지에 해볼 것 (A4): y=2x와 y=2ˣ 같은 종이. x=1~5는 비슷, 그 뒤 폭발. 음수 쪽은 0에 붙음

먼저: 지수의 확장과 지수법칙 로그 = 지수 거꾸로 일차함수 y=ax+b

다음: 삼각·지수·로그함수의 미분과 e 1계 미분방정식: 변화의 법칙 쓰기 등비수열

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수학Ⅰ: 삼각함수

삼각함수와 단위원·라디안 trigonometric functions and radians 고2 🎛 반지름 1 원 위 점의 (x,y) = (cosθ, sinθ). 각을 호의 길이로 재면 라디안, 360°=2π

왜 중요한가: 삼각비를 삼각형 밖으로. 음수·큰 각에서도 정의됨
예시: sin200°는 3사분면 점의 높이(음수). 90°=π/2
백지에 해볼 것 (A4): 단위원에 30°씩 점 찍고 좌표 읽기. sin²+cos²=1이 피타고라스인 걸 그림으로

먼저: 삼각비 sin·cos·tan 원과 원주율 π 원과 부채꼴 닮음과 비율

다음: 삼각함수 그래프 = 파동 사인법칙·코사인법칙 삼각·지수·로그함수의 미분과 e 오일러 공식과 복소평면

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삼각함수 그래프 = 파동 graphs of trigonometric functions (waves) 고2 🎛 단위원 점의 높이를 옆으로 펴면 물결. y=A sin(Bx): A 진폭, B 주기

왜 중요한가: 소리·빛·전기·심전도가 전부 이 곡선. 1일차 a,b 실험과 동일 구조
예시: 큰 소리 = A 크다, 높은 소리 = B 크다
백지에 해볼 것 (A4): 자전거 바퀴 진흙 높이 그래프. 왼쪽 원, 오른쪽 파동. 12점 옮기기

먼저: 삼각함수와 단위원·라디안 y=a(x-p)²+q 평행이동 도형의 이동과 대칭

다음: 삼각·지수·로그함수의 미분과 e 2계: 진동과 파동 테일러 급수

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사인법칙·코사인법칙 law of sines and law of cosines 고2 🎛 직각 아닌 삼각형도 변과 각 관계

왜 중요한가: 삼각측량·GPS의 원리
예시: 두 지점에서 각도만 재서 산까지 거리
백지에 해볼 것 (A4): 운동장 두 점에서 나무를 보는 각도 재서 거리 계산 후 실제 걸어 확인

먼저: 삼각함수와 단위원·라디안 삼각비 sin·cos·tan 피타고라스 정리

다음: 벡터 공간도형과 공간좌표

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수학Ⅰ: 수열

등차수열 arithmetic sequences 고2 🎛 일정하게 더해가는 수열 = 일차함수의 점만 찍은 것. 공차 = 기울기

왜 중요한가: 함수와 수열이 같은 것임을 보는 곳
예시: 극장 좌석 한 줄 2개씩 늘면 20번째 줄은
백지에 해볼 것 (A4): 1일차 y=2x+1 위에 정수 x만 점 찍기 = 수열 3,5,7,9

먼저: 규칙 찾기 일차함수 y=ax+b

다음: 수열의 합 Σ 점화식과 수학적 귀납법

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등비수열 geometric sequences 고2 🎛 일정하게 곱해가는 수열 = 지수함수의 점

왜 중요한가: 복리·반감기·종이접기 재등장
예시: 체스판 밀알(2⁶⁴), 복리
백지에 해볼 것 (A4): 등차와 등비를 같은 종이에 점 찍기. 하나는 직선, 하나는 폭발

먼저: 규칙 찾기 거듭제곱 (맛보기)지수함수·로그함수 그래프

다음: 수열의 합 Σ 수열의 극한과 무한급수

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수열의 합 Σ series and sigma notation 고2 🎛 1+2+…+100 = 5050(가우스). 등비 합 공식

왜 중요한가: '많이 더하기'의 기술. 적분의 이산 버전
예시: 거꾸로 써서 더하면 101×100÷2. 사다리꼴 넓이와 같다
백지에 해볼 것 (A4): 1~100 합을 3가지 방법으로. 그 중 하나는 반드시 넓이 그림

먼저: 등차수열 등비수열

다음: 수열의 극한과 무한급수 정적분과 미적분 기본정리

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점화식과 수학적 귀납법 recursion and mathematical induction 고2 🎛 다음 항을 앞 항으로 정하기. 귀납법 = 도미노

왜 중요한가: 무한개를 한 번에 증명하는 유일한 방법. 프로그래밍의 재귀
예시: 피보나치 a(n)=a(n-1)+a(n-2). 비율이 1.618로 수렴
백지에 해볼 것 (A4): 도미노 그림 옆에 '1+2+…+n = n(n+1)/2'를 귀납법으로. 첫 조각·다음 조각 두 문장

먼저: 규칙 찾기 등차수열 증명이란 무엇인가 명제·조건·증명법

다음: 증명법 총정리 알고리즘과 계산 복잡도 1계 미분방정식: 변화의 법칙 쓰기

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수학Ⅱ: 극한과 연속

함수의 극한 limits 고2 🎛 x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 가는 곳. 도착하지 않아도 목적지를 말할 수 있다

왜 중요한가: 미분의 준비물. 0/0을 다루는 기술
예시: (x²-1)/(x-1)은 x=1에서 정의 안 되지만 극한은 2
백지에 해볼 것 (A4): (x²-1)/(x-1)에 0.9, 0.99, 1.01 넣어 표. 어디로 가나

먼저: 수열의 극한과 무한급수 반비례 y=a/x 유리함수·무리함수 근삿값과 오차

다음: 연속 미분계수와 도함수 해석학 입문: ε-δ와 실수의 완비성

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연속 continuity 고2 🎛 끊김 없이 이어짐. 사잇값 정리

왜 중요한가: '답이 존재한다'를 보장하는 도구
예시: 아침 10°, 저녁 20°면 어느 순간 반드시 15°
백지에 해볼 것 (A4): 연속·불연속 그래프 4개 그리고 어디서 왜 끊기나

먼저: 함수의 극한 절댓값과 y=|x|

다음: 미분계수와 도함수 해석학 입문: ε-δ와 실수의 완비성

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수학Ⅱ: 미분

미분계수와 도함수 ★ the derivative 고2 🎛 두 점을 한없이 가깝게 해 얻은 순간 기울기. 모든 점의 기울기를 모으면 도함수

왜 중요한가: m-slope(기울기)와 h-limit(극한)가 만나는 곳. 자동차 속도계가 미분기
예시: y=x²의 (1,1): (2,4)→3, (1.5)→2.5, (1.1)→2.1 → 2. 모든 점: 2x
백지에 해볼 것 (A4): 표로 2에 접근. 7단계 0.999 종이를 옆에 두고 '도착 안 해도 목적지'. x=2,3에서 반복 → 2x 패턴을 아이가 말할 때 이름 붙이기

먼저: 기울기 = 변화율 함수의 극한 연속 일차함수 y=ax+b 시간·속력·거리

다음: 다항함수 미분법 접선·증감·극대극소·최적화 속도와 가속도 부정적분 그래디언트와 경사하강 → AI 학습

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다항함수 미분법 differentiation rules 고2 🎛 xⁿ → nxⁿ⁻¹. 상수는 0(수평선). 합은 따로따로

왜 중요한가: 공식은 아이가 x², x³ 표에서 패턴을 말한 뒤 이름만 붙인다
예시: x¹⁰⁰의 도함수 100x⁹⁹
백지에 해볼 것 (A4): x², x³, x⁴ 각각 표로 도함수 발견 → 규칙 스스로 쓰기

먼저: 미분계수와 도함수 다항식의 연산과 나머지정리

다음: 접선·증감·극대극소·최적화 합성함수 미분(연쇄법칙)·곱의 미분·음함수 부정적분

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접선·증감·극대극소·최적화 applications of derivatives 고2 🎛 기울기 0 = 산꼭대기·골짜기. 여기서 최대·최소

왜 중요한가: 모든 최적화(공학·경제·AI 학습)의 원리
예시: 둘레 20 직사각형 최대 넓이(중학 완전제곱으로 푼 것을 미분으로 재확인). 상자 접기 부피 최대
백지에 해볼 것 (A4): A4 네 귀를 x cm 잘라 접은 상자 부피 V=x(21-2x)(29.7-2x) 최대인 x를 미분으로. 실제로 접어 확인

먼저: 다항함수 미분법 y=ax²+bx+c와 꼭짓점 이차부등식·절댓값 부등식 둘레와 넓이

다음: 그래디언트와 경사하강 → AI 학습 최소제곱과 회귀직선

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속도와 가속도 velocity and acceleration 고2 🎛 위치 미분 = 속도, 속도 미분 = 가속도

왜 중요한가: 뉴턴이 미분을 만든 이유. 물리의 입구
예시: 공 던지기 h=20t-5t²: 속도 20-10t, 2초에 최고점
백지에 해볼 것 (A4): 거리-시간 곡선 아래 속도 그래프, 그 아래 가속도 그래프를 세 층으로

먼저: 미분계수와 도함수 시간·속력·거리 기울기 = 변화율

다음: 정적분과 미적분 기본정리 1계 미분방정식: 변화의 법칙 쓰기 2계: 진동과 파동

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수학Ⅱ: 적분

부정적분 indefinite integrals (antiderivatives) 고2 🎛 미분 거꾸로. 적분상수 C = 출발점(b)의 재등장

왜 중요한가: 기울기만 알면 원래 함수가 '하나로' 정해지지 않는다는 발견
예시: 2x ← x²+C. C가 다르면 위아래로 평행이동한 가족
백지에 해볼 것 (A4): 도함수 2x를 가진 함수 5개 그리기. 전부 x²의 평행이동

먼저: 미분계수와 도함수 다항함수 미분법

다음: 정적분과 미적분 기본정리 1계 미분방정식: 변화의 법칙 쓰기

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정적분과 미적분 기본정리 ★ definite integrals and the fundamental theorem of calculus 고2 🎛 곡선 아래 넓이를 얇은 막대 무한개로. 그리고 넓이 함수를 미분하면 원래 함수

왜 중요한가: 수학에서 가장 아름다운 순간 중 하나. 피자 자르기·무한합·미분이 하나로
예시: y=x² 아래 0~1: 막대 4,8,16개 → ⅓. y=2x 아래 넓이 x²을 미분하면 2x
백지에 해볼 것 (A4): 막대 4개→8개→16개 색칠하며 ⅓에 접근. 그 다음 넓이 함수 A(x)=x²을 미분 → 2x. '우연일까?'

먼저: 미분계수와 도함수 수열의 합 Σ 둘레와 넓이 수열의 극한과 무한급수 부정적분

다음: 적분의 활용: 넓이·부피·평균 치환적분·부분적분 다중적분 큰 수의 법칙과 중심극한정리

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적분의 활용: 넓이·부피·평균 applications of integration 고2 🎛 속도 그래프 아래 넓이 = 이동거리. 원판 쌓기 = 부피. 적분÷구간 = 평균

왜 중요한가: 초등 원넓이(피자)·구부피가 여기서 유도됨
예시: 구 부피 4/3πr³ 유도. 하루 온도 평균
백지에 해볼 것 (A4): 반원 y=√(r²-x²)를 회전시켜 원판 쌓기로 구 부피. 초등 때 오렌지로 잰 값과 비교

먼저: 정적분과 미적분 기본정리 원과 원주율 π 입체의 겉넓이와 부피 평균

다음: 다중적분 벡터장·선적분 (구경)

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미적분: 수열의 극한

수열의 극한과 무한급수 limits of sequences and infinite series 고3 🎛 1/n→0. ½+¼+⅛+…=1. 아킬레스와 거북이

왜 중요한가: '무한히 더하는데 왜 1을 안 넘어?' 이 저항이 곧 배움
예시: 0.999…=1. 정사각형 절반씩 색칠하면 다 채워짐
백지에 해볼 것 (A4): 정사각형을 ½, ¼, ⅛… 색칠. 남은 흰 부분이 0으로. 그리고 0.999…=1 두 가지 증명

먼저: 유리수와 순환소수 등비수열 수열의 합 Σ 분수 = 나눗셈 = 비율

다음: 함수의 극한 정적분과 미적분 기본정리 테일러 급수 무한의 크기: 칸토어

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미적분: 여러 함수의 미분

삼각·지수·로그함수의 미분과 e derivatives of transcendental functions and e 고3 🎛 sin'=cos, (eˣ)'=eˣ. e=2.718…은 미분해도 자기 자신인 유일한 밑

왜 중요한가: e가 특별한 이유가 여기서 드러난다. 성장 모델의 자연 단위
예시: (1+1/n)ⁿ을 n=1,10,100,1000 → 2.718로 접근. 이자를 매 순간 주면
백지에 해볼 것 (A4): sin 그래프 위 점들의 기울기를 눈으로 재서 아래에 찍기 → cos 모양. eˣ 기울기 찍기 → 자기 자신

먼저: 삼각함수 그래프 = 파동 지수함수·로그함수 그래프 로그 = 지수 거꾸로 미분계수와 도함수

다음: 합성함수 미분(연쇄법칙)·곱의 미분·음함수 오일러 공식과 복소평면 1계 미분방정식: 변화의 법칙 쓰기 테일러 급수

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합성함수 미분(연쇄법칙)·곱의 미분·음함수 the chain rule and implicit differentiation 고3 🎛 기계 두 대 연결의 기울기 = 각 기울기의 곱

왜 중요한가: 딥러닝 역전파가 정확히 이것
예시: (sin(x²))' = cos(x²)·2x. 원 x²+y²=1의 접선
백지에 해볼 것 (A4): 기어 두 개(비율 2:1, 3:1) 연결하면 6:1 → 연쇄법칙의 그림

먼저: 합성함수와 역함수 다항함수 미분법 삼각·지수·로그함수의 미분과 e

다음: 치환적분·부분적분 그래디언트와 경사하강 → AI 학습 선형대수와 AI

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미적분: 적분법

치환적분·부분적분 techniques of integration 고3 🎛 연쇄법칙 거꾸로 / 곱의 미분 거꾸로

왜 중요한가: 미분의 각 규칙마다 적분 기술이 하나씩 대응
예시: ∫2x·cos(x²)dx = sin(x²)+C
백지에 해볼 것 (A4): 미분 규칙 표 왼쪽, 대응 적분 기술 오른쪽 나란히

먼저: 합성함수 미분(연쇄법칙)·곱의 미분·음함수 정적분과 미적분 기본정리

다음: 부피·곡선의 길이·속도의 적분 1계 미분방정식: 변화의 법칙 쓰기 다중적분

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부피·곡선의 길이·속도의 적분 volumes and arc length 고3 🎛 단면 쌓기, 작은 직선 조각 더하기

왜 중요한가: '무한히 얇게 잘라 더하기'가 3차원으로
예시: 병 부피를 단면 넓이 적분으로
백지에 해볼 것 (A4): 실제 물병 높이별 지름 재서 표 → 원판 쌓기로 부피 계산 → 물 부어 확인

먼저: 적분의 활용: 넓이·부피·평균 치환적분·부분적분 피타고라스 정리

다음: 다중적분 벡터장·선적분 (구경)

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확률과 통계

확률의 정의·조건부확률·독립 conditional probability and independence 고3 🎛 P(A|B) = 새 정보가 들어오면 확률이 바뀐다. 독립은 안 바뀜

왜 중요한가: 직관이 틀리는 첫 경험(몬티홀). 베이즈로 가는 길
예시: 몬티홀: 바꾸면 2/3. 문 100개면 98개 열어주면 바꿀 거지
백지에 해볼 것 (A4): 카드 3장으로 몬티홀 40번 실험. 바꾸기/안바꾸기 각 20번 기록

먼저: 확률 = 경우의 수 / 전체 집합 순열·조합·이항정리

다음: 확률변수·기대값·분산 확률 공리와 베이즈 정리 마코프 체인 (구경)

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확률변수·기대값·분산 random variables and expected value 고3 🎛 결과에 수를 붙임. 기대값 = 확률 가중 평균

왜 중요한가: 복권·보험이 왜 항상 회사가 이기나. 의사결정의 수학
예시: 주사위 기대값 3.5. 로또 기대값 < 가격
백지에 해볼 것 (A4): '앞면이면 300원 받고 뒷면이면 100원 내는 게임' 기대값 계산 후 실제 20번

먼저: 확률 = 경우의 수 / 전체 대푯값과 산포도 평균 확률의 정의·조건부확률·독립

다음: 이항분포 정규분포 큰 수의 법칙과 중심극한정리

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이항분포 the binomial distribution 고3 🎛 n번 시도 중 성공 k번의 확률 = nCk pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ

왜 중요한가: 파스칼 삼각형이 확률로. 정규분포의 부모
예시: 동전 10개 던져 앞면 5개 확률 24.6%
백지에 해볼 것 (A4): 동전 10개를 30번 던져 앞면 개수 히스토그램 → 종 모양 시작

먼저: 순열·조합·이항정리 확률변수·기대값·분산

다음: 정규분포 큰 수의 법칙과 중심극한정리

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정규분포 the normal distribution 고3 🎛 종 모양. 평균±1σ에 68%, ±2σ에 95%

왜 중요한가: 키·시험점수·오차가 왜 다 이 모양인가. 통계의 중심
예시: MAP 점수도 정규분포. RIT 표준화가 이것
백지에 해볼 것 (A4): 이항분포 히스토그램 위에 곡선 덧그리기. 아이 MAP 점수가 어디쯤인지 찍기

먼저: 이항분포 대푯값과 산포도 확률변수·기대값·분산

다음: 표본과 모평균 추정 큰 수의 법칙과 중심극한정리 회귀와 통계적 추론

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표본과 모평균 추정 sampling and confidence intervals 고3 🎛 일부를 뽑아 전체를 추측. 신뢰구간

왜 중요한가: 여론조사 1000명으로 5000만을 아는 원리
예시: 봉지 속 콩 색 비율을 한 줌으로 추정
백지에 해볼 것 (A4): 색깔 콩 봉지에서 30개 5번 뽑아 비율. 실제 비율과 비교. 편차가 왜 생기나

먼저: 정규분포 표와 그래프

다음: 큰 수의 법칙과 중심극한정리 회귀와 통계적 추론

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기하

이차곡선: 포물선·타원·쌍곡선 conic sections 고3 🎛 원뿔을 자른 단면. 초점으로 정의

왜 중요한가: 행성 궤도(타원), 안테나(포물선), GPS(쌍곡선)
예시: 포물선 = 초점과 직선에서 같은 거리. 위성 안테나가 신호를 한 점에 모으는 이유
백지에 해볼 것 (A4): 실과 압정 두 개로 타원 그리기. 압정 거리 바꾸면 원↔길쭉

먼저: 이차함수 y=ax² 좌표기하: 거리·중점·직선·원의 방정식 이차방정식·이차함수 종합: 판별식, 근과 계수 원의 성질: 원주각·접선

다음: 벡터 2계: 진동과 파동

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벡터 vectors 고3 🎛 크기+방향. 더하기는 이어 붙이기. 내적은 '같은 방향 성분'

왜 중요한가: 힘·속도·바람. 선형대수와 AI(임베딩)의 알파벳
예시: 강 건널 때 물살 벡터 + 배 벡터 = 실제 도착
백지에 해볼 것 (A4): 모눈종이에 (3,1)+(1,2) 화살표 이어 붙이기 → (4,3). 피타고라스로 길이

먼저: 피타고라스 정리 좌표기하: 거리·중점·직선·원의 방정식 삼각형의 성질: 외심·내심·무게중심 사인법칙·코사인법칙

다음: 공간도형과 공간좌표 벡터공간·기저·차원 선형대수와 AI 벡터장·선적분 (구경)

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공간도형과 공간좌표 solid geometry and 3D coordinates 고3 🎛 (x,y,z). 직선·평면의 방정식. 정사영

왜 중요한가: 3D 그래픽·로봇·CAD의 기초. 아빠 회사 시트 설계 좌표
예시: 방 구석을 원점으로 가구 위치를 (x,y,z)로
백지에 해볼 것 (A4): 방 안 물건 5개 (x,y,z) 좌표 쓰기. 두 물건 거리 = 3차원 피타고라스

먼저: 벡터 입체의 겉넓이와 부피 사인법칙·코사인법칙

다음: 다변수 함수와 편미분 행렬과 선형변환

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대학 맛보기 지도 그리기: 나중에 만났을 때 '아빠랑 그린 그거'가 되면 성공

미적분학

다변수 함수와 편미분 multivariable functions and partial derivatives 대학 🎛 z=f(x,y): 입력 두 개, 출력 하나 = 지형. 편미분 = 한 방향으로만 기울기

왜 중요한가: 현실 대부분은 변수가 여러 개. AI 손실함수는 변수 수십억 개
예시: z=x²+y² 등고선은 원. 산 지도의 등고선이 곧 함수
백지에 해볼 것 (A4): z=x²+y²의 등고선(z=1,4,9) 그리기. 동쪽으로만 걸을 때 기울기 vs 북쪽으로만

먼저: 공간도형과 공간좌표 미분계수와 도함수 함수 = 기계

다음: 그래디언트와 경사하강 → AI 학습 다중적분 벡터장·선적분 (구경)

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그래디언트와 경사하강 → AI 학습 the gradient and gradient descent 대학 🎛 가장 가파른 방향 벡터. 반대로 조금씩 내려가면 골짜기(최소)에 도달

왜 중요한가: 딥러닝 학습이 정확히 이것: 오차 지형에서 내려가기
예시: 안개 낀 산에서 발밑 기울기만 보고 내려가기
백지에 해볼 것 (A4): 등고선 지도 위에 점 찍고 '가장 가파른 내리막'으로 화살표 5번 → 골짜기 도착. 보폭(학습률) 너무 크면 튕김

먼저: 다변수 함수와 편미분 접선·증감·극대극소·최적화 기울기 = 변화율 합성함수 미분(연쇄법칙)·곱의 미분·음함수 일차부등식

다음: 선형대수와 AI 최소제곱과 회귀직선

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다중적분 multiple integrals 대학 🎛 넓이 아래 부피, 부피 안 밀도. 얇은 조각 쌓기가 2D, 3D로

왜 중요한가: 질량·확률(정규분포 총합 1)·물리량
예시: 밀도가 다른 케이크 무게 = 밀도 적분
백지에 해볼 것 (A4): 모눈 위 높이표(z값)를 써서 '기둥 부피 합'으로 이중적분 근사

먼저: 정적분과 미적분 기본정리 부피·곡선의 길이·속도의 적분 다변수 함수와 편미분 입체도형: 부피와 겉넓이

다음: 벡터장·선적분 (구경)큰 수의 법칙과 중심극한정리

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테일러 급수 Taylor series 대학 🎛 복잡한 함수를 다항식 무한합으로. sin x ≈ x - x³/6 + …

왜 중요한가: 계산기가 sin을 구하는 방법. 오일러 공식의 증명 도구
예시: sin x ≈ x (작은 각). 진자의 비밀
백지에 해볼 것 (A4): sin x 그래프 위에 y=x, y=x-x³/6, y=x-x³/6+x⁵/120 겹쳐 그리기. 점점 달라붙음

먼저: 삼각·지수·로그함수의 미분과 e 수열의 극한과 무한급수 다항식의 연산과 나머지정리 근삿값과 오차

다음: 오일러 공식과 복소평면 2계: 진동과 파동

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벡터장·선적분 (구경) vector fields and line integrals 대학 공간 각 점에 화살표. 바람·전기장. 그 위를 따라 적분

왜 중요한가: 전자기학(맥스웰), 유체역학의 언어
예시: 태풍 지도의 화살표가 벡터장
백지에 해볼 것 (A4): 모눈 각 점에 (-y, x) 화살표 → 소용돌이 그림

먼저: 벡터 다변수 함수와 편미분 부피·곡선의 길이·속도의 적분

다음: 2계: 진동과 파동

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선형대수

벡터공간·기저·차원 vector spaces, basis, and dimension 대학 🎛 벡터를 더하고 늘려서 만들 수 있는 모든 것. 기저 = 최소 부품 세트

왜 중요한가: '차원'의 진짜 뜻. 데이터의 차원, 임베딩 차원
예시: 2D 평면은 (1,0),(0,1) 두 개로 전부 만든다. (1,1),(2,2)는 안 됨(한 직선)
백지에 해볼 것 (A4): 모눈 위에서 화살표 두 개 조합으로 (5,3) 만들기. 평행한 두 화살표로는 못 만듦 → 차원 부족

먼저: 벡터 피타고라스 정리

다음: 행렬과 선형변환 고유값·고유벡터 선형대수와 AI

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행렬과 선형변환 matrices and linear transformations 대학 🎛 점 여러 개를 한 번에 회전·확대·기울이는 표. 행렬곱 = 변환 연결

왜 중요한가: 게임 그래픽, 로봇, 연립방정식 한 방에
예시: [[0,-1],[1,0]]은 90° 회전. 캐릭터를 한 번에 돌리는 법
백지에 해볼 것 (A4): 정사각형 네 꼭짓점에 행렬 곱해 새 위치 찍기 → 회전/늘어남. 연립방정식을 행렬로 다시 쓰기

먼저: 연립일차방정식 두 직선의 교점 = 연립방정식 대칭·이동·회전 도형의 이동과 대칭 공간도형과 공간좌표

다음: 행렬식 고유값·고유벡터 선형대수와 AI

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행렬식 the determinant 대학 🎛 변환이 넓이를 몇 배로 만드나. 0이면 납작해짐(정보 손실)

왜 중요한가: 역행렬 존재 조건. 연립방정식 해 존재 조건
예시: det=2면 모든 도형 넓이 2배. det=0이면 평면이 직선으로 찌부
백지에 해볼 것 (A4): 단위 정사각형에 행렬 적용 후 평행사변형 넓이 재기 = det

먼저: 행렬과 선형변환 둘레와 넓이

다음: 고유값·고유벡터

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고유값·고유벡터 eigenvalues and eigenvectors 대학 🎛 변환해도 방향이 안 바뀌는 특별한 화살표와 그 배율

왜 중요한가: 구글 PageRank, 진동 모드, 주성분분석(PCA)
예시: 지구 자전축은 회전의 고유벡터
백지에 해볼 것 (A4): 늘리기 행렬 [[2,0],[0,1]]에서 어떤 화살표가 방향 유지하나 실험

먼저: 행렬과 선형변환 행렬식 복소수와 i

다음: 선형대수와 AI 마코프 체인 (구경)2계: 진동과 파동

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선형대수와 AI ★ 아빠 회사 이야기 linear algebra in AI 대학 🎛 이미지 = 숫자표. 신경망 = 행렬곱 + 꺾기(활성함수) 반복 = 거대한 함수. 학습 = 미분으로 가중치 찾기

왜 중요한가: m-func(기계) + u-matrix + u-grad + h-chain(역전파)이 한 곳에 모인다
예시: 8×8 흑백 숫자표에 [-1,0,1] 필터 → 세로선 검출(합성곱)
백지에 해볼 것 (A4): 격자에 0~9 밝기 쓰고 3×3 필터 손으로 곱해 더하기. 경계에서 큰 수. 가로선 필터는 아이가 설계

먼저: 함수 = 기계 행렬과 선형변환 그래디언트와 경사하강 → AI 학습 합성함수 미분(연쇄법칙)·곱의 미분·음함수 합성함수와 역함수 벡터공간·기저·차원 고유값·고유벡터

다음: 최소제곱과 회귀직선

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최소제곱과 회귀직선 least squares and linear regression 대학 🎛 점들에 '가장 가까운' 직선. 오차 제곱합 최소

왜 중요한가: m-scatter에서 눈대중으로 그린 직선을 수학으로. 통계와 AI의 접점
예시: 키-발크기 점 10개의 최적 직선 y=ax+b → 1일차 식이 데이터에서 나옴
백지에 해볼 것 (A4): 점 5개에 직선 3개 후보 그려 오차(세로 거리) 제곱합 비교. 최소인 것 고르기

먼저: 산점도와 상관관계 일차함수 y=ax+b 접선·증감·극대극소·최적화 그래디언트와 경사하강 → AI 학습

다음: 회귀와 통계적 추론

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미분방정식

1계 미분방정식: 변화의 법칙 쓰기 first-order differential equations 대학 🎛 y' = ky: '변하는 속도가 현재 양에 비례' → y=Ceᵏᵗ

왜 중요한가: 인구·이자·방사성붕괴·전염병 초기가 한 식. 법칙만 알면 미래를 그린다
예시: 통장: 잔액 변화 속도 = 이율×잔액 → 지수 성장
백지에 해볼 것 (A4): y'=0.1y를 손으로 한 칸씩(오일러 방법): y가 100이면 다음 110, 121… 지수곡선이 '나온다'

먼저: 미분계수와 도함수 부정적분 지수함수·로그함수 그래프 삼각·지수·로그함수의 미분과 e 속도와 가속도 점화식과 수학적 귀납법

다음: 2계: 진동과 파동 수학적 모델링: SIR, 포식자-피식자

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2계: 진동과 파동 second-order equations: oscillation and waves 대학 🎛 y'' = -ky → 사인·코사인. 가속도가 위치에 반대로 비례하면 흔들린다

왜 중요한가: 용수철·진자·소리·교류전기·자동차 서스펜션(아빠 회사 시트!)
예시: 용수철: 멀리 가면 세게 당김 → sin
백지에 해볼 것 (A4): 용수철 장난감 진동을 시간별 위치로 찍기 → 사인 곡선. 마찰 있으면 줄어드는 사인(감쇠)

먼저: 1계 미분방정식: 변화의 법칙 쓰기 삼각함수 그래프 = 파동 속도와 가속도 테일러 급수 고유값·고유벡터

다음: 수학적 모델링: SIR, 포식자-피식자

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수학적 모델링: SIR, 포식자-피식자 mathematical modeling 대학 🎛 세상의 규칙을 미분방정식 몇 개로 쓰고 컴퓨터로 돌리기

왜 중요한가: 공학자·과학자가 실제로 하는 일
예시: 감염자 변화 = 접촉률×감염자×건강인 - 회복률×감염자. 코로나 곡선
백지에 해볼 것 (A4): S,I,R 세 칸을 하루씩 손으로 갱신하는 표 10줄 → 종 모양 유행 곡선

먼저: 1계 미분방정식: 변화의 법칙 쓰기 2계: 진동과 파동

다음: 마코프 체인 (구경)

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확률·통계

확률 공리와 베이즈 정리 probability axioms and Bayes’ theorem 대학 🎛 확률은 세 규칙(0이상, 전체 1, 배반이면 더함)으로 정의. 베이즈 = 증거로 믿음 업데이트

왜 중요한가: 의료 검사 양성의 진짜 의미. AI 추론의 뼈대
예시: 검사 정확도 99%, 유병률 1%: 양성 받아도 실제 병일 확률 50%
백지에 해볼 것 (A4): 1만 명 표(병 있음/없음 × 양성/음성) 채워서 베이즈를 나눗셈 하나로

먼저: 확률의 정의·조건부확률·독립 확률 = 경우의 수 / 전체 집합

다음: 큰 수의 법칙과 중심극한정리 마코프 체인 (구경)회귀와 통계적 추론

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큰 수의 법칙과 중심극한정리 the law of large numbers and the central limit theorem 대학 🎛 많이 반복하면 평균은 안정. 아무 분포든 평균을 모으면 정규분포

왜 중요한가: 정규분포가 세상 어디에나 있는 이유. 표본조사가 작동하는 이유
예시: 주사위 1개는 평평, 주사위 10개 평균은 종 모양
백지에 해볼 것 (A4): 주사위 5개 던져 평균 30번 기록 → 히스토그램 종 모양

먼저: 정규분포 이항분포 표본과 모평균 추정 확률변수·기대값·분산 정적분과 미적분 기본정리 다중적분

다음: 회귀와 통계적 추론

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회귀와 통계적 추론 regression and statistical inference 대학 🎛 데이터에서 관계 찾고 '우연인지' 검정. p값의 뜻

왜 중요한가: 과학 논문·의학·경제가 결론을 내는 방법. 아빠 논문 아이디어의 도구
예시: 신약 효과가 우연일 확률 5% 미만이면 채택
백지에 해볼 것 (A4): 동전이 공정한지 30번 던져 판단. '앞면 20번이면 의심'의 근거를 확률로

먼저: 최소제곱과 회귀직선 정규분포 표본과 모평균 추정 확률 공리와 베이즈 정리 대푯값과 산포도 큰 수의 법칙과 중심극한정리

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마코프 체인 (구경) Markov chains 대학 🎛 다음 상태는 현재만 보고 정해짐. 확률 행렬

왜 중요한가: PageRank, 날씨 예측, 언어모델의 원조
예시: 맑음→맑음 70%, 맑음→비 30%… 오래 돌리면 안정 비율
백지에 해볼 것 (A4): 날씨 2상태 화살표 그림 → 10일 손으로 돌리기 → 비율이 고정됨(고유벡터)

먼저: 확률의 정의·조건부확률·독립 행렬과 선형변환 고유값·고유벡터 확률 공리와 베이즈 정리 수학적 모델링: SIR, 포식자-피식자

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이산수학·컴퓨터

알고리즘과 계산 복잡도 algorithms and computational complexity 대학 🎛 문제 푸는 단계별 절차. 입력이 커지면 단계가 얼마나 늘나(O 표기)

왜 중요한가: 컴퓨터과학의 핵심 질문. 왜 어떤 문제는 컴퓨터도 못 푸나
예시: 카드 정렬: 하나씩 끼우기 vs 반씩 나눠 합치기. 1000장이면 차이 100배
백지에 해볼 것 (A4): 카드 10장을 두 방법으로 정렬하며 비교 횟수 세기

먼저: 최대공약수·최소공배수 어림과 큰 수 점화식과 수학적 귀납법 로그 = 지수 거꾸로

다음: 그래프 이론 정수론과 암호(RSA)

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그래프 이론 graph theory 대학 🎛 점과 선. 쾨니히스베르크 다리, 최단경로, 네트워크

왜 중요한가: 지도·SNS·인터넷·회로가 전부 그래프
예시: 한붓그리기 가능 조건: 홀수 점이 0개 또는 2개
백지에 해볼 것 (A4): 집 근처 지도를 점·선으로 추상화. 한붓그리기 되나

먼저: 알고리즘과 계산 복잡도 경우의 수: 합과 곱의 법칙

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정수론과 암호(RSA) number theory and RSA cryptography 대학 🎛 나머지 연산(시계 산술). 큰 수 소인수분해가 어렵다는 것이 인터넷 보안

왜 중요한가: 초등 소수가 은행 보안이 되는 놀라움
예시: 시계: 9+5=2 (mod 12). 두 소수 곱은 쉽고, 되돌리기는 어려움
백지에 해볼 것 (A4): 시계 산술 표 만들기. 작은 RSA(p=3,q=11)로 메시지 암호화·복호화 손계산

먼저: 약수·배수·소수(prime)소인수분해 알고리즘과 계산 복잡도

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조합론 심화 (구경) combinatorics 대학 🎛 비둘기집 원리, 포함배제, 생성함수 이름만

왜 중요한가: 세기의 예술. 올림피아드의 절반
예시: 13명 중 같은 달 생일 반드시 2명(비둘기집)
백지에 해볼 것 (A4): '반 30명 중 같은 생일 있을 확률 70%' 계산하고 실제 반 명단으로 확인

먼저: 순열·조합·이항정리

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집합·논리·해석

무한의 크기: 칸토어 cardinality of infinite sets 대학 🎛 짝수와 자연수는 개수가 같다(짝 지을 수 있음). 실수는 더 많다(대각선 논법)

왜 중요한가: '무한도 크기가 다르다'. 수학이 상식을 넘어가는 순간
예시: 힐베르트 호텔: 방이 다 찼는데 손님을 더 받는 법
백지에 해볼 것 (A4): 자연수↔짝수 짝짓기 표. 그 다음 0~1 소수 목록을 만들고 대각선으로 '목록에 없는 수' 만들기

먼저: 실수 체계 집합 수열의 극한과 무한급수

다음: 해석학 입문: ε-δ와 실수의 완비성 괴델 불완전성 (이야기)

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해석학 입문: ε-δ와 실수의 완비성 real analysis: epsilon-delta and completeness 대학 🎛 '한없이 가까워진다'를 ε, δ로 정확히 쓰기. 수직선에 빈틈이 없다는 공리

왜 중요한가: 고등 미적분을 '증명'으로 바꾸는 작업. 대학 수학의 첫 충격
예시: 'x→1일 때 2x→2': 아무리 작은 ε을 줘도 그에 맞는 δ가 있다
백지에 해볼 것 (A4): ε=0.1일 때 δ 찾기, ε=0.01일 때 찾기… 게임처럼. 항상 이기면 극한

먼저: 함수의 극한 연속 실수 체계 절댓값과 y=|x|무한의 크기: 칸토어

다음: 증명법 총정리

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증명법 총정리 methods of proof 대학 직접·대우·귀류·귀납·구성적·비구성적. 반례 하나면 명제 붕괴

왜 중요한가: 12년간 배운 증명들을 종류별로 정리
예시: 소수가 무한히 많음(귀류: 유클리드). √2 무리수(귀류). 1+…+n(귀납)
백지에 해볼 것 (A4): 지금까지 A4에서 한 증명을 전부 꺼내 종류별로 분류표

먼저: 증명이란 무엇인가 명제·조건·증명법 점화식과 수학적 귀납법 해석학 입문: ε-δ와 실수의 완비성

다음: 괴델 불완전성 (이야기)

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괴델 불완전성 (이야기) Gödel’s incompleteness theorems 대학 충분히 강한 수학 체계에는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 반드시 있다

왜 중요한가: 수학에도 한계가 있다는 것을 수학이 증명함
예시: '이 문장은 증명할 수 없다'가 참이면?
백지에 해볼 것 (A4): 거짓말쟁이 역설(이 문장은 거짓이다)에서 시작해 이야기로 15분

먼저: 명제·조건·증명법 무한의 크기: 칸토어 증명법 총정리

다음: 미해결 문제와 수학의 현재

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대수·기하

군: 대칭의 수학 group theory 대학 🎛 대칭 변환들의 모임. 합성·항등·역이 닫혀 있음

왜 중요한가: 루빅스큐브, 결정 구조, 입자물리, 5차방정식 불가능성(갈루아)
예시: 정삼각형의 대칭 6개(회전 3, 뒤집기 3). 곱셈표 만들기
백지에 해볼 것 (A4): 정삼각형 종이 꼭짓점에 A,B,C 써서 회전·뒤집기 6가지 표. 두 번 연속 하면 어떤 하나와 같음

먼저: 대칭·이동·회전 삼차·사차방정식과 연립이차 행렬과 선형변환

다음: 위상: 도넛과 컵 (구경)

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오일러 공식과 복소평면 Euler’s formula and the complex plane 대학 🎛 e^{iθ} = cosθ + i sinθ. θ=π면 e^{iπ}+1=0

왜 중요한가: e, i, π, 1, 0이 한 줄에. 회전=지수=삼각함수가 하나. 교류전기·양자역학의 언어
예시: i 곱하기 = 90° 회전(h-complex)이 e^{iπ/2}였던 것
백지에 해볼 것 (A4): 단위원 위 e^{iθ}를 θ=0, π/2, π, 3π/2에 찍기. 테일러 급수로 왜 그런지 구경(증명 아닌 감상)

먼저: 복소수와 i 삼각함수와 단위원·라디안 삼각·지수·로그함수의 미분과 e 테일러 급수 원과 원주율 π

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위상: 도넛과 컵 (구경) topology 대학 🎛 늘리고 구부려도 안 변하는 성질. 구멍 개수

왜 중요한가: '모양'을 가장 느슨하게 보는 법. 데이터 모양 분석(TDA)
예시: 커피컵 = 도넛(구멍 1). 뫼비우스의 띠는 면이 하나
백지에 해볼 것 (A4): 종이띠 한 번 꼬아 붙여 뫼비우스 띠. 가운데 선 따라 그리면 양면 모두. 반으로 자르면?

먼저: 군: 대칭의 수학 입체의 겉넓이와 부피

다음: 미해결 문제와 수학의 현재

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비유클리드 기하 non-Euclidean geometry 대학 🎛 평행선 공준을 버리면 다른 기하. 구면에서 삼각형 내각합 > 180°

왜 중요한가: 초등 '내각합 180°'가 절대진리가 아니었다. 일반상대성이론의 무대
예시: 지구 위 적도-북극 삼각형 내각합 270°
백지에 해볼 것 (A4): 풍선 위에 삼각형 그리고 각 재기. 180 넘음. 비행기 최단경로가 지도에서 휘는 이유

먼저: 삼각형 내각의 합 180°평행선과 각 증명이란 무엇인가

다음: 미해결 문제와 수학의 현재

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미해결 문제와 수학의 현재 open problems in mathematics 대학 리만가설, P vs NP, 골드바흐, 콜라츠. 수학은 끝난 학문이 아니다

왜 중요한가: 12년 여정의 마지막 문장: '아직 모르는 게 남아 있다'
예시: 콜라츠: 짝수면 ÷2, 홀수면 3n+1. 항상 1에 도달? 아무도 증명 못 함
백지에 해볼 것 (A4): 콜라츠를 7부터 손으로. 27은 111단계. 아이가 자기 생일 숫자로 해보기. 그리고 개념지도 전체를 아이가 스스로 그리기

먼저: 약수·배수·소수(prime)괴델 불완전성 (이야기)위상: 도넛과 컵 (구경)비유클리드 기하 알고리즘과 계산 복잡도

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