개념지도 / 고등 / 수학Ⅱ: 극한과 연속

함수의 극한

limits 고2 앞으로

x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 가는 곳. 도착하지 않아도 목적지를 말할 수 있다

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

극한은 "그 점에 가면 어떤 값에 다가가는가"이지 "그 점의 값"이 아니다. 이 구분이 미적분 전체의 열쇠다.

가까이 갈수록 어떤 값에 다가가나그 점의 값이 없어도 극한은 있다.

얼마나 가까이

그 점의 값이 아니라, 그 점으로 가는 길에서 무엇에 다가가는지를 본다.

미분의 준비물. 0/0을 다루는 기술

(x²-1)/(x-1)은 x=1에서 정의 안 되지만 극한은 2

(x²-1)/(x-1)에 0.9, 0.99, 1.01 넣어 표. 어디로 가나

핵심 식

\lim_{x\to a}f(x)=L

x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 L에 한없이 가까워진다

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

(라디안일 때만)

✗ lim(x→a) f(x) = f(a) 이다.

왜 이렇게 생각하나
연속함수만 봐서.

어떻게 깨뜨리나
f(x)=(x²−1)/(x−1)은 x=1에서 정의되지 않지만 극한은 2다. 극한은 "도착점"이 아니라 "접근 방향"을 본다.

✗ ∞는 아주 큰 수다.

왜 이렇게 생각하나
수처럼 써서.

어떻게 깨뜨리나
∞는 수가 아니라 "한없이 커진다"는 상태다. ∞−∞는 계산할 수 없다.

뉴턴과 라이프니츠는 극한을 엄밀히 정의하지 못한 채 미적분을 만들었다. 버클리 주교가 "사라진 양의 유령"이라 조롱했고, 150년 뒤 코시와 바이어슈트라스가 ε-δ로 엄밀화했다.

미분계수의 정의가 바로 극한이다. 여기가 고등 수학의 분수령.