개념지도 / 고등 / 수학Ⅱ: 미분

미분계수와 도함수

the derivative 고2 앞으로

두 점을 한없이 가깝게 해 얻은 순간 기울기. 모든 점의 기울기를 모으면 도함수

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

미분계수는 "그 순간의 기울기"다. 평균 기울기를 구간을 0으로 줄여가며 얻는다 — 중2 기울기의 극한판.

평균 기울기 → 순간 기울기h를 줄이면 할선이 접선이 된다. 이게 미분이다.

점 위치 a간격 h

h를 0에 가깝게 줄이면 두 점을 잇는 직선(할선)이 접선이 된다. 이게 미분이다.

m-slope(기울기)와 h-limit(극한)가 만나는 곳. 자동차 속도계가 미분기

y=x²의 (1,1): (2,4)→3, (1.5)→2.5, (1.1)→2.1 → 2. 모든 점: 2x

표로 2에 접근. 7단계 0.999 종이를 옆에 두고 '도착 안 해도 목적지'. x=2,3에서 반복 → 2x 패턴을 아이가 말할 때 이름 붙이기

준비물 · 모눈종이 / 자

핵심 식

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

순간변화율의 정의

f'(a) = \text{점 } (a,f(a))\text{에서의 접선의 기울기}

기하학적 의미

✗ 미분은 새로운 개념이다.

왜 이렇게 생각하나
기호가 낯설어서.

어떻게 깨뜨리나
중2 기울기 Δy/Δx 에서 Δx를 0으로 보낸 것뿐이다. 완전히 같은 것의 극한.

✗ h=0을 대입하면 된다.

왜 이렇게 생각하나
극한을 대입으로.

어떻게 깨뜨리나
0/0이 된다. 먼저 약분해서 h를 지운 뒤 h→0.

✗ 모든 함수는 미분 가능하다.

왜 이렇게 생각하나
매끄러운 함수만 봐서.

어떻게 깨뜨리나
y=|x|는 x=0에서 꺾여 접선이 하나로 정해지지 않는다. 연속이지만 미분 불가.

Q. f(x)=x²의 f'(2)를 정의로 구하라

A. lim[(2+h)²−4]/h = lim(4h+h²)/h = lim(4+h) = 4

→ 반드시 한 번은 정의로

뉴턴은 행성 운동을 설명하려고, 라이프니츠는 접선 문제를 풀려고 각자 미분을 만들었다. 우선권 다툼으로 영국과 대륙 수학계가 100년간 갈라졌고, 라이프니츠의 기호(dy/dx)가 더 편해서 결국 살아남았다.

도함수 → 증감·극값 → 최적화. 그리고 경사하강법으로 AI 학습의 심장이 된다.