개념지도 / 고등 / 수학Ⅱ: 미분

접선·증감·극대극소·최적화

applications of derivatives 고2 앞으로

기울기 0 = 산꼭대기·골짜기. 여기서 최대·최소

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

도함수의 부호가 함수의 오르내림을 알려준다. 부호가 바뀌는 곳이 봉우리와 골짜기다.

평균 기울기 → 순간 기울기기울기가 0이 되는 곳이 봉우리·골짜기 후보.

점 위치 a간격 h

h를 0에 가깝게 줄이면 두 점을 잇는 직선(할선)이 접선이 된다. 이게 미분이다.

모든 최적화(공학·경제·AI 학습)의 원리

둘레 20 직사각형 최대 넓이(중학 완전제곱으로 푼 것을 미분으로 재확인). 상자 접기 부피 최대

A4 네 귀를 x cm 잘라 접은 상자 부피 V=x(21-2x)(29.7-2x) 최대인 x를 미분으로. 실제로 접어 확인

핵심 식

f'>0 \Rightarrow \text{증가},\quad f'<0 \Rightarrow \text{감소}

f'(a)=0 \text{ 이고 부호 변화} \Rightarrow \text{극값}

f′=0만으로는 부족

✗ f'(a)=0 이면 극값이다.

왜 이렇게 생각하나
기울기 0이면 봉우리라 생각.

어떻게 깨뜨리나
y=x³은 x=0에서 f′=0이지만 계속 증가한다. 부호가 바뀌어야 극값.

✗ 극댓값이 최댓값이다.

왜 이렇게 생각하나
이름이 비슷해서.

어떻게 깨뜨리나
극값은 국소적, 최댓값은 전역적. 구간 끝점도 확인해야 한다.

경사하강법: f′를 따라 내려가면 최솟값에 도달 — AI가 학습하는 방식 그 자체.