개념지도 / 고등 / 미적분: 수열의 극한

수열의 극한과 무한급수

limits of sequences and infinite series 고3 앞으로

1/n→0. ½+¼+⅛+…=1. 아킬레스와 거북이

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

무한급수는 "끝없이 더하는데 값이 정해지는" 경우가 있다. 항이 충분히 빨리 작아지면 된다.

가까이 갈수록 어떤 값에 다가가나무한히 더해도 값이 정해질 수 있다.

얼마나 가까이

그 점의 값이 아니라, 그 점으로 가는 길에서 무엇에 다가가는지를 본다.

'무한히 더하는데 왜 1을 안 넘어?' 이 저항이 곧 배움

0.999…=1. 정사각형 절반씩 색칠하면 다 채워짐

정사각형을 ½, ¼, ⅛… 색칠. 남은 흰 부분이 0으로. 그리고 0.999…=1 두 가지 증명

핵심 식

\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\frac{a}{1-r}\ (|r|<1)

\sum\frac{1}{n}=\infty,\quad \sum\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

조화급수는 발산, 제곱은 수렴

✗ 항이 0에 가면 급수는 수렴한다.

왜 이렇게 생각하나
자연스러워 보여서.

어떻게 깨뜨리나
1/n은 0에 가지만 합은 무한대다(조화급수). 필요조건이지 충분조건이 아니다.

오일러가 1+1/4+1/9+... = π²/6 을 발견한 것은 당대의 충격이었다. 왜 원주율이 나오는가?

테일러 급수 → 함수를 무한 다항식으로.