개념지도 / 대학 맛보기 / 집합·논리·해석

무한의 크기: 칸토어

cardinality of infinite sets 대학 앞으로

짝수와 자연수는 개수가 같다(짝 지을 수 있음). 실수는 더 많다(대각선 논법)

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

칸토어는 "무한에도 크기가 있다"를 증명했다. 자연수와 유리수는 같은 크기인데, 실수는 더 크다.

소수 찾기 — 배수를 지우면 남는 것무한에도 크기가 있다.

지우는 단계

2의 배수, 3의 배수… 차례로 지우면 더 이상 쪼개지지 않는 수만 남는다.

'무한도 크기가 다르다'. 수학이 상식을 넘어가는 순간

힐베르트 호텔: 방이 다 찼는데 손님을 더 받는 법

자연수↔짝수 짝짓기 표. 그 다음 0~1 소수 목록을 만들고 대각선으로 '목록에 없는 수' 만들기

핵심 식

|\mathbb{N}|=|\mathbb{Q}|<|\mathbb{R}|

가산 무한 < 비가산 무한

✗ 무한은 다 같은 무한이다.

왜 이렇게 생각하나
"끝없음"이라 생각.

어떻게 깨뜨리나
자연수와 실수를 일대일 대응시키려 하면 반드시 빠지는 실수가 있다(대각선 논법). 실수가 더 많다.

칸토어의 결과는 당대에 격렬한 반발을 샀고, 그는 정신적으로 무너졌다. 힐베르트는 "누구도 칸토어가 만든 낙원에서 우리를 쫓아낼 수 없다"고 옹호했다.

집합론의 기초, 연속체 가설(결정 불가능함이 증명됨).