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개념지도 / 중등 / 수와 연산

실수 체계

the real number system 중3 앞으로

자연수→정수→유리수→실수. 수직선을 빈틈없이 채우는 수

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

실수는 "수직선을 빈틈없이 채우는 수"다. 유리수만으로는 수직선에 구멍이 뚫린다.

가까이 갈수록 어떤 값에 다가가나유리수만으로는 수직선에 구멍이 뚫린다.
f(x) = (x²−1)/(x−1) (x → 1)xf(x)0.9000001.9000000.9900001.9900000.9990001.9990001.0010002.0010001.0100002.0100001.1000002.100000→ 2 에 다가간다x = 1 에서는 0/0 이라 값이 없다. 그래도 극한은 2.

그 점의 값이 아니라, 그 점으로 가는 길에서 무엇에 다가가는지를 본다.

왜 중요한가

각 확장은 '못 하던 계산'을 가능하게 한 역사

예시

5-7(정수 필요), 1÷3(유리수), x²=2(무리수), x²=-1(복소수: 고등)

형식적 정의

ℝ = ℚ ∪ (무리수). 수직선 위의 점과 실수는 일대일 대응.

백지에 해볼 것 A4 한 장

상자 4개 겹쳐 그리기. 각 상자에 '이 상자 밖으로 나가야 풀리는 문제' 한 개씩 쓰기

흔한 오개념 — 여기서 막힌다

✗ 유리수와 무리수는 개수가 비슷하다.

왜 이렇게 생각하나
둘 다 무한이라서.

어떻게 깨뜨리나
유리수는 셀 수 있고(가산), 무리수는 셀 수 없다(비가산). 무리수가 압도적으로 많다. 수직선에서 아무 점이나 찍으면 거의 확실히 무리수다.

대표 예제

백지 훈련 단계 — 순서대로 시키면 됨

  1. 수직선에 유리수 몇 개를 찍는다
  2. √2의 위치를 작도로 찾아 찍는다
  3. 그 사이에 또 다른 수가 있는지 생각해 본다

확인 질문 — 답하면 통과

발견의 순서 — 왜 이게 필요했나

칸토어가 19세기말 "무한에도 크기가 있다"를 증명하면서 무리수가 유리수보다 훨씬 많다는 게 밝혀졌다. 당시 수학계는 격렬히 반발했다.

다음으로 어떻게 이어지는가

대학 해석학의 완비성 공리, 칸토어의 무한 크기 비교로 이어진다.

먼저 알아야 할 것 정수·유리수의 연산제곱근과 무리수
이걸 알면 갈 수 있는 곳 복소수와 i해석학 입문: ε-δ와 실수의 완비성무한의 크기: 칸토어