개념지도 / 고등 / 공통수학: 대수

복소수와 i

complex numbers and i 고1 앞으로

i²=-1. 실수직선 밖으로 나간 수

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

i는 "제곱해서 −1이 되는 수"를 새로 만든 것이다. 수직선에 없으니 평면으로 나갔다 — 수를 2차원으로 확장한 사건.

단위원 위의 점 그림자 = sin, cosi를 곱하는 것은 90° 회전이다.

각도 θ

원 위를 도는 점의 세로 좌표를 옆으로 펼치면 sin 곡선이 된다.

판별식<0에서 '답 없음'이라던 문제가 풀린다. i는 90° 회전

x²+1=0의 해 ±i. (1+i)²=2i

복소평면. 1에 i 곱하면 i(90° 회전), 또 곱하면 -1(180°). 회전으로 보이면 i²=-1이 당연해짐

핵심 식

i^2=-1

정의

(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2

켤레복소수의 곱은 실수

e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

오일러 공식 — i는 회전이다

✗ 허수는 상상의 수라 실제로는 쓸모없다.

왜 이렇게 생각하나
"허(虛)"라는 이름 때문.

어떻게 깨뜨리나
양자역학, 전기공학(교류), 신호처리(푸리에 변환)가 전부 복소수 없이는 불가능하다. 이름이 잘못 붙었을 뿐이다.

✗ √(−4)×√(−9) = √36 = 6

왜 이렇게 생각하나
근호 성질을 그대로 적용.

어떻게 깨뜨리나
음수에서는 √a√b=√(ab)가 깨진다. 2i×3i = 6i² = −6.

카르다노가 3차방정식을 풀다 음수의 제곱근을 만났는데, 실수 해를 얻는 과정에서 중간에 반드시 나타났다. "쓸모없는데 없으면 안 되는" 수로 시작해 300년 뒤 물리학의 언어가 됐다.

오일러 공식 → 삼각함수와 지수함수의 통합 → 푸리에 변환.