개념지도 / 중등 / 문자와 식

완전제곱과 근의 공식

completing the square and the quadratic formula 중3 앞으로

x²+6x에 9를 더하면 (x+3)². 이 기술로 모든 이차방정식을 푼다

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

근의 공식은 완전제곱을 일반적인 a,b,c로 한 번에 해둔 결과다. 외우는 게 아니라 유도할 수 있어야 한다.

그래프 — 계수를 바꾸면 모양이 어떻게 변하나판별식이 0보다 크면 두 점에서, 같으면 한 점에서 만난다.

근의 공식은 외우는 것이 아니라 만드는 것

ax²+bx+c=0을 완전제곱으로 정리하면 x = (-b±√(b²-4ac))/2a가 '나온다'

x²+6x를 타일로 놓고 정사각형 완성에 몇 개 필요한지(9). 그 다음 문자 그대로 ax²+bx+c에 같은 짓

핵심 식

x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{D}}{2a}

축 위치 ± 축에서의 거리 — 대칭이 보인다

✗ 근의 공식은 그냥 외우는 것이다.

왜 이렇게 생각하나
유도를 안 배워서.

어떻게 깨뜨리나
ax²+bx+c=0 을 a로 나누고 완전제곱하면 그대로 나온다. 15분이면 유도된다.

Q. 근의 공식을 유도하라

A. x²+(b/a)x = −c/a → (x+b/2a)² = (b²−4ac)/4a² → 제곱근

→ 반드시 한 번은 직접

바빌로니아 점토판(기원전 1800년)에 이미 이차방정식 풀이가 있다. 다만 음수 해는 버렸다. 일반 공식이 지금 형태로 정리된 것은 훨씬 뒤다.

3차·4차 방정식에도 공식이 있지만 5차부터는 없다(아벨-갈루아). 대학 군론의 출발점.