개념지도 / 중등 / 수와 연산

제곱근과 무리수

square roots and irrational numbers 중3 앞으로

제곱해서 a가 되는 수. √2는 분수로 쓸 수 없다

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

√2는 "제곱해서 2가 되는 수"다. 그런데 이 수는 분수로 절대 쓸 수 없다 — 수 체계에 구멍이 있다는 첫 증거.

피타고라스 — 길이가 아니라 넓이의 관계한 변 1인 정사각형의 대각선이 √2. 분수로 쓸 수 없는 수.

밑변 a높이 b

a+b=c 가 아니다. 각 변 위 정사각형의 넓이를 세면 a²+b²=c².

수 체계에 구멍이 있음을 처음 발견. 피타고라스 학파가 숨기려 했던 사실

한 변 1인 정사각형 대각선 = √2 = 1.41421356…

√a (a ≥ 0)는 x² = a 를 만족하는 음이 아닌 x.

√2가 분수가 아님을 짝·홀로 증명(맛보기). 그리고 √2를 1.4, 1.41, 1.414로 조여가기

준비물 · 자 / 모눈종이

핵심 식

\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}\quad (a,b\ge 0)

조건 주의 — 음수에서 깨진다

\sqrt{a^2} = |a|

절댓값이 붙는다. a가 음수일 수 있으므로

✗ √(a²) = a

왜 이렇게 생각하나
제곱과 근호가 그냥 상쇄된다고 생각.

어떻게 깨뜨리나
a = −3이면 √9 = 3 = |−3|. 반드시 절댓값.

✗ √(a+b) = √a + √b

왜 이렇게 생각하나
분배법칙을 근호에 적용.

어떻게 깨뜨리나
√(9+16) = 5 이지만 √9+√16 = 7. 반례 하나로 끝.

✗ √2는 1.414다.

왜 이렇게 생각하나
계산기 값을 그대로 믿어서.

어떻게 깨뜨리나
1.414² = 1.999396 ≠ 2. 근삿값일 뿐이고, 정확한 값은 소수로 쓸 수 없다.

Q. √2가 유리수가 아님을 증명하라

A. √2 = a/b (기약)라 하면 2b² = a² → a는 짝수 → a=2k → 2b²=4k² → b²=2k² → b도 짝수. 기약에 모순.

→ 수학사 최초의 귀류법 증명

피타고라스 학파는 "모든 것은 수(정수의 비)"라 믿었다. 한 변이 1인 정사각형의 대각선 √2가 비로 쓸 수 없다는 걸 발견한 히파소스는 배 밖으로 던져졌다는 전설이 있다. 수학 최초의 위기였다.

실수 체계 완성(중3) → 복소수(고1) → 실수의 완비성(대학). 수 체계 확장의 세 번째 위기.