개념지도 / 중등 / 수와 연산

유리수와 순환소수

repeating decimals 중2 앞으로

분수는 유한소수 또는 순환소수. 순환소수는 분수로 되돌릴 수 있다

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

유리수를 소수로 쓰면 반드시 유한하거나 순환한다. 나머지가 유한 개라 언젠가 반복될 수밖에 없기 때문이다.

가까이 갈수록 어떤 값에 다가가나0.999… 처럼 무한히 이어져도 다가가는 값은 하나다.

얼마나 가까이

그 점의 값이 아니라, 그 점으로 가는 길에서 무엇에 다가가는지를 본다.

0.999…=1로 가는 길. 실수 체계 이해의 관문

x=0.333…, 10x-x=3, x=⅓

a/b (기약)가 유한소수 ⟺ b의 소인수가 2와 5뿐.

1/7을 손으로 나눠 142857 순환 발견. 그 다음 0.999…=1 증명

핵심 식

0.\dot{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

순환마디를 9로 나눈다

0.\dot{9} = 1

놀랍지만 참 — 0.999…는 1과 같은 수

✗ 0.999… 는 1보다 아주 조금 작다.

왜 이렇게 생각하나
"끝없이 가까워질 뿐"이라고 느껴서.

어떻게 깨뜨리나
x = 0.999… 라면 10x = 9.999…, 빼면 9x = 9, x = 1. 또는 1/3 = 0.333…의 양변에 3을 곱해도 나온다. 둘은 같은 수의 두 표기다.

✗ 순환소수는 무리수다.

왜 이렇게 생각하나
무한히 이어져서.

어떻게 깨뜨리나
순환하면 유리수다. 무리수는 순환하지 않고 무한한 것(π, √2).

실수의 완비성(대학 해석학)에서 0.999…=1이 왜 필연인지 완전히 설명된다.