세연이 공부방수학 과목 ▾

개념지도 / 중등 / 문자와 식

다항식의 곱셈과 전개

multiplying polynomials (expanding) 중3 앞으로

(x+2)(x+3) = x²+5x+6. 넓이 네 조각

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

(a+b)(c+d) 전개는 초등학교 12×13 넓이 그림과 완전히 같은 것이다. 숫자가 문자로 바뀌었을 뿐.

넓이 모델 — 곱셈은 직사각형이다(a+b)² 에 왜 2ab가 있는지 — 조각이 네 개다.
6×6362×6126×3182×366263(6+2) × (6+3) = 36 + 12 + 18 + 6 = 72문자로 바꾸면 (x+b)(x+d) = x² + (b+d)x + bd — 같은 그림

가로를 (a+b), 세로를 (c+d)로 쪼개면 네 조각이 나온다. 이 그림이 분배법칙이고 전개이고 인수분해다.

왜 중요한가

이차식의 탄생. 곱셈공식은 외우는 게 아니라 그림

예시

(a+b)² = a²+2ab+b²: 정사각형을 넷으로 나눈 그림

백지에 해볼 것 A4 한 장

12×13 넓이 그림 옆에 (x+2)(x+3) 넓이 그림 나란히. 똑같다

준비물 · 모눈종이 / 가위

핵심 식

정사각형을 네 조각으로 자른 그림
합차공식 — 직사각형 옮겨붙이기

흔한 오개념 — 여기서 막힌다

✗ (a+b)² = a² + b²

왜 이렇게 생각하나
분배를 지수에 적용.

어떻게 깨뜨리나
a=1,b=1 → 4 vs 2. 그리고 넓이 그림: 큰 정사각형은 a², b² 말고도 ab 두 조각이 더 있다.

대표 예제

함정

백지 훈련 단계 — 순서대로 시키면 됨

  1. 큰 정사각형을 그리고 한 변을 a와 b로 나눈다.
  2. 네 조각의 넓이 a², ab, ab, b²를 각각 쓴다.
  3. (a+b)² = a²+2ab+b² 를 그림에서 읽는다.
  4. 초등 때 그린 12×13 종이와 나란히 놓고 같은 그림임을 확인.

확인 질문 — 답하면 통과

다음으로 어떻게 이어지는가

전개의 역방향이 인수분해다. 그리고 이 그림은 고1 곱셈공식, 이항정리까지 간다.

먼저 알아야 할 것 곱셈·나눗셈과 그 관계식의 계산: 동류항·분배법칙둘레와 넓이
이걸 알면 갈 수 있는 곳 인수분해y=ax²+bx+c와 꼭짓점다항식의 연산과 나머지정리순열·조합·이항정리