세연이 공부방수학 과목 ▾

개념지도 / 대학 맛보기 / 대수·기하

오일러 공식과 복소평면

Euler’s formula and the complex plane 대학 앞으로

e^{iθ} = cosθ + i sinθ. θ=π면 e^{iπ}+1=0

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

e^(iπ) + 1 = 0. 수학에서 가장 중요한 다섯 수(e, i, π, 1, 0)가 한 식에 모인다.

단위원 위의 점 그림자 = sin, cose^(iθ)는 단위원 위의 회전이다.
θ = 60°0°90°180°270°360°sin 60° = 0.866 cos 60° = 0.500sin²θ + cos²θ = 1 — 피타고라스를 원 위에 쓴 것

원 위를 도는 점의 세로 좌표를 옆으로 펼치면 sin 곡선이 된다.

왜 중요한가

e, i, π, 1, 0이 한 줄에. 회전=지수=삼각함수가 하나. 교류전기·양자역학의 언어

예시

i 곱하기 = 90° 회전(h-complex)이 e^{iπ/2}였던 것

백지에 해볼 것 A4 한 장

단위원 위 e^{iθ}를 θ=0, π/2, π, 3π/2에 찍기. 테일러 급수로 왜 그런지 구경(증명 아닌 감상)

핵심 식

지수와 삼각의 통합

흔한 오개념 — 여기서 막힌다

✗ 아름답다고 하는데 왜 아름다운지 모르겠다.

왜 이렇게 생각하나
유도를 안 봐서.

어떻게 깨뜨리나
eˣ, sin x, cos x의 테일러 급수를 나란히 쓰고 x에 iθ를 넣으면 그대로 나온다. 서로 무관해 보이던 셋이 하나였던 것.

백지 훈련 단계 — 순서대로 시키면 됨

  1. eˣ, sin x, cos x의 테일러 급수를 세 줄로 쓴다
  2. eˣ에 iθ를 대입하고 실수부·허수부로 나눈다
  3. cos θ와 sin θ가 나타나는 걸 본다

확인 질문 — 답하면 통과

다음으로 어떻게 이어지는가

신호처리, 양자역학, 전기공학.

먼저 알아야 할 것 복소수와 i삼각함수와 단위원·라디안삼각·지수·로그함수의 미분과 e테일러 급수원과 원주율 π