개념지도 / 고등 / 미적분: 여러 함수의 미분

삼각·지수·로그함수의 미분과 e

derivatives of transcendental functions and e 고3 앞으로

sin'=cos, (eˣ)'=eˣ. e=2.718…은 미분해도 자기 자신인 유일한 밑

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

e는 "자기 자신을 미분한 함수"를 만드는 유일한 밑이다. 그래서 자연상수라 부른다.

평균 기울기 → 순간 기울기e는 자기 자신을 미분한 함수를 만드는 밑이다.

점 위치 a간격 h

h를 0에 가깝게 줄이면 두 점을 잇는 직선(할선)이 접선이 된다. 이게 미분이다.

e가 특별한 이유가 여기서 드러난다. 성장 모델의 자연 단위

(1+1/n)ⁿ을 n=1,10,100,1000 → 2.718로 접근. 이자를 매 순간 주면

sin 그래프 위 점들의 기울기를 눈으로 재서 아래에 찍기 → cos 모양. eˣ 기울기 찍기 → 자기 자신

핵심 식

(e^x)'=e^x

e의 정의라 해도 된다

(\sin x)'=\cos x,\ (\ln x)'=\frac{1}{x}

e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828

복리의 극한

✗ e는 그냥 2.718이라는 수다.

왜 이렇게 생각하나
값만 외워서.

어떻게 깨뜨리나
연 100% 이자를 무한히 자주 복리로 하면 원금의 e배가 된다. e는 "연속 성장의 한계"다.

오일러 공식 e^(iθ)=cos θ + i sin θ 로 지수와 삼각이 하나가 된다.