개념지도 / 중등 / 수와 연산

정수·유리수의 연산

integers and rational numbers 중1 앞으로

음수를 포함한 사칙연산. (-)×(-)=(+)

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

정수는 자연수를 "반대 방향"으로 확장한 것이고, 유리수는 "쪼개는 방향"으로 확장한 것이다. 수는 부족할 때마다 늘어난다.

수직선 — 방향이 곧 부호빼기는 음수를 더하는 것. 뺄셈이라는 연산이 사라진다.

시작이동

오른쪽은 더하기, 왼쪽은 빼기. 0 왼쪽으로 나가면 음수.

이걸 못 하면 이후 모든 계산이 무너진다

(-3)×(-2)=6: 빚 3만원이 2번 사라지면 6만원 이득

정수 ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}. 유리수 ℚ = {a/b | a,b ∈ ℤ, b ≠ 0}.

3×2, 3×1, 3×0, 3×(-1), 3×(-2) 패턴 이어가기. 그 다음 (-3)×2…(-3)×(-2)를 같은 방식으로 발견

핵심 식

(-a)\times(-b) = ab

반대의 반대는 원래

a - b = a + (-b)

뺄셈은 음수를 더하는 것 — 뺄셈이라는 연산이 사라진다

✗ −x는 항상 음수다.

왜 이렇게 생각하나
기호 −를 "음수 표시"로만 봐서.

어떻게 깨뜨리나
x = −3이면 −x = 3. −는 "반대"라는 뜻이지 "음수"가 아니다.

✗ (−2)² = −4

왜 이렇게 생각하나
거듭제곱과 부호의 우선순위를 착각.

어떻게 깨뜨리나
(−2)² = (−2)×(−2) = 4. 반면 −2² = −(2²) = −4. 괄호가 결정한다.

음수를 정식 수로 인정하기까지 유럽은 1000년 넘게 걸렸다. 인도의 브라마굽타(7세기)가 이미 음수 연산 규칙을 완성했지만, 유럽은 18세기까지도 "불합리한 수"라 불렀다.

수 체계 확장의 두 번째 단계. 다음은 무리수(중3), 그 다음은 복소수(고1).