개념지도 / 초등 / 수와 연산

분수의 사칙연산

operations with fractions 초5-2 배운 곳

같은 단위(분모)로 맞춘 뒤 더하고, 곱셈은 '의(of)'

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

분수의 곱셈은 "~의 ~"다. 2/3 × 3/4 는 "3/4의 2/3"이고, 넓이 그림에서 겹치는 칸을 세면 답이 나온다. 나눗셈은 "몇 개 들어가는가"다.

분수 막대 — 조각 크기를 맞춰야 더한다더하려면 조각 크기를 먼저 맞춰야 한다(통분).

① 분자① 분모② 분자② 분모

분모가 다르면 조각 크기가 달라서 그냥 더할 수 없다.

통분=공통 단위 맞추기, 이 감각이 문자식 계산으로 이어진다

½ × ⅓ = '⅓의 절반' = ⅙. 그림으로 6칸 중 1칸

(a/b)×(c/d) = ac/bd. (a/b)÷(c/d) = (a/b)×(d/c).

직사각형을 가로 2, 세로 3으로 나눠 ½×⅓이 왜 1/6인지 색칠

준비물 · 모눈종이 / 색연필 2색 / 리본이나 끈

핵심 식

\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}

분자끼리, 분모끼리 — 넓이 그림에서 가로칸×세로칸

\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}

나눗셈은 역수를 곱하는 것

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}

더하려면 조각 크기를 먼저 맞춰야 한다(통분)

✗ 곱셈도 통분해야 한다.

왜 이렇게 생각하나
덧셈에서 통분을 먼저 배워서 습관이 됨.

어떻게 깨뜨리나
곱셈은 조각을 "다시 자르는" 것이라 크기를 맞출 필요가 없다. 넓이 그림으로 보면 명확하다.

✗ 나눗셈에서 왜 뒤집어 곱하는지 모른 채 외운다.

왜 이렇게 생각하나
"뒤집어 곱한다"만 규칙으로 전달돼서.

어떻게 깨뜨리나
1 ÷ (1/2) = 2. "1 안에 1/2이 몇 개 들어가나?" 2개. 포함제로 보면 뒤집기가 당연해진다. 또는 (a/b)÷(c/d) = [(a/b)×(d/c)] ÷ [(c/d)×(d/c)] = (a/b)(d/c) ÷ 1.

✗ 나누면 항상 작아진다.

왜 이렇게 생각하나
자연수로만 나눠봐서.

어떻게 깨뜨리나
6 ÷ (1/2) = 12. 1보다 작은 수로 나누면 커진다.

백지에 정사각형을 그리고 가로를 4등분해 3칸 색칠(3/4).
같은 정사각형을 세로로 3등분해 2칸을 다른 색으로 색칠(2/3).
두 색이 겹친 칸 수를 센다 → 6칸 / 전체 12칸 = 1/2. 이게 2/3 × 3/4.
수직선에 1을 그리고 1/2씩 끊어 몇 개인지 센다 → 1 ÷ (1/2) = 2.
6까지 늘려서 6 ÷ (1/2) = 12를 확인.

분수 나눗셈의 "뒤집어 곱하기"는 인도 수학자 마하비라(9세기)의 저술에 이미 나온다. 다만 왜 그런지는 오래도록 규칙으로만 전해졌다.

"뒤집어 곱하기"는 역원(逆元)의 첫 등장이다. 중학교 유리수, 고등학교 역함수, 대학 역행렬이 전부 같은 아이디어다.