개념지도 / 고등 / 수학Ⅱ: 적분

정적분과 미적분 기본정리

definite integrals and the fundamental theorem of calculus 고2 앞으로

곡선 아래 넓이를 얇은 막대 무한개로. 그리고 넓이 함수를 미분하면 원래 함수

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

정적분은 "넓이"이고, 미분의 역연산이다. 이 둘이 같다는 것이 미적분 기본정리 — 수학사 최대의 발견 중 하나.

잘게 쪼개 더하기 — 정적분직사각형을 늘리면 1/3에 다가간다. 초등 칸 세기의 최종형.

직사각형 수

직사각형을 늘릴수록 곡선 아래 넓이에 가까워진다. 초등 "칸 세기"의 최종 형태.

수학에서 가장 아름다운 순간 중 하나. 피자 자르기·무한합·미분이 하나로

y=x² 아래 0~1: 막대 4,8,16개 → ⅓. y=2x 아래 넓이 x²을 미분하면 2x

막대 4개→8개→16개 색칠하며 ⅓에 접근. 그 다음 넓이 함수 A(x)=x²을 미분 → 2x. '우연일까?'

준비물 · 모눈종이

핵심 식

\int_a^b f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x

리만 합 — 잘게 쪼갠 직사각형의 합

\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)

미적분 기본정리 — 넓이를 원시함수로 구한다

✗ 정적분은 항상 넓이다.

왜 이렇게 생각하나
넓이로 배워서.

어떻게 깨뜨리나
x축 아래면 음수가 나온다. "부호 있는 넓이"다. 실제 넓이를 원하면 절댓값이 필요.

✗ 미분과 적분이 왜 역관계인지 모른다.

왜 이렇게 생각하나
기본정리를 공식으로만 배워서.

어떻게 깨뜨리나
넓이 함수 A(x)를 정의하고 A(x+h)−A(x) ≈ f(x)·h 를 보면 A′(x)=f(x). 넓이를 미분하면 원래 함수가 나온다.

아르키메데스는 이미 포물선 아래 넓이를 "무한히 잘게 쪼개기"로 구했다(구분구적법). 하지만 미분과의 연결은 2000년 뒤 뉴턴·라이프니츠가 발견했다.

초등 "넓이 = 칸 채우기"의 최종 형태. 이후 다중적분, 선적분, 확률밀도로.