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개념지도 / 고등 / 기하

이차곡선: 포물선·타원·쌍곡선

conic sections 고3 앞으로

원뿔을 자른 단면. 초점으로 정의

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

원뿔을 어떻게 자르냐에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 나온다. 하나의 도형에서 넷이 나온다.

원을 잘라 네모로 — 넓이 πr²원뿔을 자르는 각도에 따라 원·타원·포물선이 나온다.
r원을 8조각으로rπr = 껍질의 절반아래 줄 껍질 + 위 줄 껍질 = 원 둘레 2πr넓이 ≈ πr × r = πr² (아직 울퉁불퉁)

잘게 자를수록 직사각형에 가까워진다. 가로 πr, 세로 r은 조각 수와 무관하게 고정.

왜 중요한가

행성 궤도(타원), 안테나(포물선), GPS(쌍곡선)

예시

포물선 = 초점과 직선에서 같은 거리. 위성 안테나가 신호를 한 점에 모으는 이유

백지에 해볼 것 A4 한 장

실과 압정 두 개로 타원 그리기. 압정 거리 바꾸면 원↔길쭉

준비물 · 압정 2개 / 실 / 연필

핵심 식

타원 — 두 초점까지 거리의 합이 일정
포물선 — 초점과 준선에서 같은 거리

백지 훈련 단계 — 순서대로 시키면 됨

  1. 실과 압정 두 개로 타원을 그린다
  2. 두 초점까지 거리의 합이 일정함을 확인

확인 질문 — 답하면 통과

발견의 순서 — 왜 이게 필요했나

아폴로니오스가 기원전 200년경 순수한 호기심으로 연구했다. 1800년 뒤 케플러가 행성 궤도가 타원임을 발견하면서 천문학의 언어가 됐다. "쓸모없어 보이던 수학"의 대표 사례.

어디에 쓰이나

  • 행성 궤도(타원)
  • 위성 안테나·자동차 헤드라이트(포물선)
  • GPS(쌍곡선)

다음으로 어떻게 이어지는가

천체역학, 상대성이론.

먼저 알아야 할 것 이차함수 y=ax²좌표기하: 거리·중점·직선·원의 방정식이차방정식·이차함수 종합: 판별식, 근과 계수원의 성질: 원주각·접선
이걸 알면 갈 수 있는 곳 벡터2계: 진동과 파동