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개념지도 / 고등 / 확률과 통계

확률변수·기대값·분산

random variables and expected value 고3 앞으로

결과에 수를 붙임. 기대값 = 확률 가중 평균

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

확률변수는 "결과에 숫자를 붙이는 함수"다. 기댓값은 "무한히 반복했을 때의 평균".

무엇을 더하든 많이 더하면 종 모양기댓값 3.5는 실제로는 나오지 않는 값이다.
16주사위 1개의 합 (4000번 반복)1개면 어느 눈이나 똑같이 나온다 — 평평한 분포이것이 중심극한정리. 정규분포가 자연에 흔한 이유.

주사위 1개는 평평한데, 여러 개를 더한 합은 가운데가 볼록해진다.

왜 중요한가

복권·보험이 왜 항상 회사가 이기나. 의사결정의 수학

예시

주사위 기대값 3.5. 로또 기대값 < 가격

백지에 해볼 것 A4 한 장

'앞면이면 300원 받고 뒷면이면 100원 내는 게임' 기대값 계산 후 실제 20번

핵심 식

값 × 확률의 합

흔한 오개념 — 여기서 막힌다

✗ 기댓값은 실제로 나올 값이다.

왜 이렇게 생각하나
"기대"라는 말 때문.

어떻게 깨뜨리나
주사위 기댓값 3.5인데 3.5는 절대 안 나온다. 장기 평균이지 예측값이 아니다.

대표 예제

백지 훈련 단계 — 순서대로 시키면 됨

  1. 주사위를 30번 던져 평균을 낸다
  2. 3.5 근처인지 확인

확인 질문 — 답하면 통과

어디에 쓰이나

  • 보험료 산정
  • 기대수익률
  • 게임 밸런싱

다음으로 어떻게 이어지는가

큰 수의 법칙 → 중심극한정리.

먼저 알아야 할 것 확률 = 경우의 수 / 전체대푯값과 산포도평균확률의 정의·조건부확률·독립
이걸 알면 갈 수 있는 곳 이항분포정규분포큰 수의 법칙과 중심극한정리