개념지도 / 고등 / 수학Ⅰ: 수열
점화식과 수학적 귀납법
recursion and mathematical induction 고2 앞으로다음 항을 앞 항으로 정하기. 귀납법 = 도미노
한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공
점화식은 "앞의 것으로 다음 것을 정하는" 규칙이다. 귀납법은 "도미노가 하나 넘어지면 다 넘어진다"는 증명법.
결국 지수가 이긴다앞의 것으로 다음을 정하면 어떻게 자라는가.
처음엔 x²가 크지만 2^x가 반드시 추월한다.
왜 중요한가
무한개를 한 번에 증명하는 유일한 방법. 프로그래밍의 재귀
예시
피보나치 a(n)=a(n-1)+a(n-2). 비율이 1.618로 수렴
백지에 해볼 것 A4 한 장
도미노 그림 옆에 '1+2+…+n = n(n+1)/2'를 귀납법으로. 첫 조각·다음 조각 두 문장
준비물 · 도미노 또는 카드
핵심 식
점화식
수학적 귀납법
흔한 오개념 — 여기서 막힌다
✗ 귀납법은 예를 많이 드는 것이다.
왜 이렇게 생각하나
"귀납"이라는 말 때문.
어떻게 깨뜨리나
과학의 귀납과 다르다. 수학적 귀납법은 완전한 연역 증명이다. 도미노: ①첫 개가 넘어진다 ②k번째가 넘어지면 k+1번째도 넘어진다 → 전부 넘어진다.
대표 예제
- Q. 1+2+...+n = n(n+1)/2 를 귀납법으로 증명A. n=1 확인 → n=k 가정 → n=k+1 유도
백지 훈련 단계 — 순서대로 시키면 됨
- 도미노를 실제로 세워 넘어뜨린다
- 두 조건이 왜 둘 다 필요한지 이야기한다
- 합 공식을 귀납법으로 백지에 증명
확인 질문 — 답하면 통과
- 수학적 귀납법이 왜 완전한 증명인가?
- 두 조건 중 하나가 빠지면?
다음으로 어떻게 이어지는가
재귀 알고리즘, 프로그래밍의 반복문, 그리고 대학의 모든 증명.
가르치기 전에 제1원칙으로 내가 먼저 재구성한다. 이름 붙이기로 때우지 않고, 논리 비약 없이, 세연이가 나 없이 재도출할 수 있게.
이 개념은 아직 예습 전입니다.
예습 노트는 코드에 씁니다 — src/data/prep/ 에 추가 후 배포.
Claude에게 /mathjason 으로 불러주시면 됩니다.
아직 백지 기록이 없습니다.
기록은 src/data/content/index.ts 의 RECORDS 에 추가합니다.