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개념지도 / 중등 / 기하

증명이란 무엇인가

proof 중2 앞으로

정의·정리·증명 구분. '맞는 것 같다'와 '반드시 맞다'

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

증명은 "몇 개 해보니 맞더라"를 "반드시 그렇다"로 바꾸는 작업이다. 수학이 다른 학문과 갈라지는 지점.

소수 찾기 — 배수를 지우면 남는 것예를 많이 들어도 증명이 아니다. n²+n+41은 40에서 깨진다.
1~100123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100아직 아무것도 안 지웠다

2의 배수, 3의 배수… 차례로 지우면 더 이상 쪼개지지 않는 수만 남는다.

왜 중요한가

수학이 다른 과목과 다른 단 하나의 이유

예시

예시 100개 맞아도 증명이 아니다. n²-n+41은 n=1..40 전부 소수인데 41에서 깨진다

백지에 해볼 것 A4 한 장

'모든 홀수의 제곱은 홀수'를 2k+1로 증명. 아이가 첫 문자 증명을 쓴 날

흔한 오개념 — 여기서 막힌다

✗ 예를 많이 들면 증명이다.

왜 이렇게 생각하나
과학은 그렇게 하니까.

어떻게 깨뜨리나
n²+n+41 은 n=0~39에서 전부 소수인데 n=40에서 깨진다. 40개가 맞아도 증명이 아니다.

✗ 반례 하나로는 반박이 안 된다.

왜 이렇게 생각하나
"대부분 맞으니까".

어떻게 깨뜨리나
"모든 ~"을 깨는 데는 반례 하나면 충분하다. 이건 비대칭이다.

대표 예제

함정

백지 훈련 단계 — 순서대로 시키면 됨

  1. n²+n+41에 n=0부터 넣어 소수인지 확인한다(10개 정도).
  2. "항상 소수일 것 같다"는 느낌을 적는다.
  3. n=40을 넣어 본다 → 41² = 1681, 소수 아님.
  4. 왜 예시로는 부족한지 한 문장으로 쓴다.

확인 질문 — 답하면 통과

발견의 순서 — 왜 이게 필요했나

증명이라는 방식은 그리스에서 태어났다. 이집트·바빌로니아는 "이렇게 하면 된다"는 방법은 알았지만 "왜 반드시 그런가"를 묻지 않았다. 유클리드 『원론』이 그 전환점이다.

다음으로 어떻게 이어지는가

고1 명제와 논증, 고2 수학적 귀납법, 대학 전 과목. 수학의 언어 그 자체.

먼저 알아야 할 것 삼각형 내각의 합 180°평행선과 각삼각형의 합동 (SSS, SAS, ASA)기본 도형과 작도
이걸 알면 갈 수 있는 곳 명제·조건·증명법점화식과 수학적 귀납법증명법 총정리