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개념지도 / 초등 / 수와 연산

약수·배수·소수(prime)

factors, multiples, and primes 초5-1 배운 곳

나누어떨어지는 수. 더 못 쪼개는 수가 소수

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

소수(prime)는 더 이상 쪼갤 수 없는 수의 "원자"다. 모든 자연수는 소수들의 곱으로, 단 한 가지 방법으로만 쪼개진다.

소수 찾기 — 배수를 지우면 남는 것배수를 지우고 남는 수가 소수. 더 이상 쪼갤 수 없는 원자.
1~100123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100아직 아무것도 안 지웠다

2의 배수, 3의 배수… 차례로 지우면 더 이상 쪼개지지 않는 수만 남는다.

왜 중요한가

수의 DNA. 인수분해와 암호(RSA)의 뿌리

예시

12=2×2×3. 12를 직사각형으로 만들 수 있는 방법 = 약수 쌍

형식적 정의

산술의 기본정리: 1보다 큰 모든 자연수는 소수의 곱으로 유일하게 (순서 무시) 표현된다.

백지에 해볼 것 A4 한 장

1~50 격자에 소수만 색칠(에라토스테네스). 패턴 없음을 확인 → 리만가설 이야기 30초

준비물 · 1~100 숫자표

핵심 식

소인수분해는 그 수의 지문(指紋)이다

흔한 오개념 — 여기서 막힌다

✗ 1은 소수다.

왜 이렇게 생각하나
"1과 자기 자신으로만 나눠진다"는 정의를 형식적으로 적용해서.

어떻게 깨뜨리나
1을 소수로 치면 6 = 2×3 = 1×2×3 = 1×1×2×3... 표현이 무한해져 "유일성"이 깨진다. 유일성을 지키려고 1을 뺀 것이다.

✗ 약수와 배수를 헷갈린다.

왜 이렇게 생각하나
둘 다 나눗셈 관계라서.

어떻게 깨뜨리나
"6은 12의 약수, 12는 6의 배수". 작은 쪽이 약수. 화살표로 6 → 12 (배수 방향)를 그린다.

대표 예제

함정

백지 훈련 단계 — 순서대로 시키면 됨

  1. 백지에 2~30을 쓰고 에라토스테네스의 체를 직접 지워 본다.
  2. 60의 소인수분해를 나무 그림(factor tree)으로 그린다.
  3. 다른 순서로 다시 쪼개 본다 → 결과가 같음을 확인 (유일성).

확인 질문 — 답하면 통과

발견의 순서 — 왜 이게 필요했나

유클리드는 기원전 300년경에 이미 "소수는 무한히 많다"를 증명했다. 소수 목록에 끝이 있다고 가정하면 모순이 나온다는 귀류법 — 지금도 가장 아름다운 증명 중 하나로 꼽힌다.

어디에 쓰이나

  • RSA 암호 — 큰 소수 두 개를 곱하기는 쉽지만 되돌리기는 사실상 불가능하다는 성질이 인터넷 보안의 기반
  • 기어 이빨 수를 서로소로 만들어 마모를 분산

다음으로 어떻게 이어지는가

소인수분해가 최대공약수·최소공배수의 도구가 되고, 중3 인수분해(식을 쪼개기)로 이름을 그대로 물려준다.

먼저 알아야 할 것 곱셈·나눗셈과 그 관계
이걸 알면 갈 수 있는 곳 최대공약수·최소공배수소인수분해정수론과 암호(RSA)