개념지도 / 초등 / 수와 연산

자연수와 자릿값

place value 초1-1 배운 곳

10개가 모이면 한 칸 왼쪽으로 옮겨 쓰는 약속

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

자릿값은 "같은 숫자라도 어디에 앉느냐에 따라 값이 달라지는 약속"이다. 숫자는 이름이고, 자리는 크기다.

자릿값 — 몇 개씩 묶느냐묶는 개수를 바꿔도 규칙은 똑같다. 컴퓨터는 2개씩 묶을 뿐이다.

37 = 37 — 자리는 10의 거듭제곱

수몇 개씩 묶기

묶는 개수(밑)를 바꾸면 같은 수가 다르게 적힌다. 컴퓨터는 2씩 묶는다.

모든 계산 규칙(받아올림, 소수, 지수)은 결국 자릿값 규칙이다

345는 3개의 100, 4개의 10, 5개의 1. 로마 숫자 CCCXLV와 비교하면 자릿값이 왜 천재적인지 보인다

십진 위치기수법: 수 N을 N = Σ aₖ·10ᵏ (0 ≤ aₖ ≤ 9) 로 유일하게 나타내는 표기 체계.

바둑알 37개를 10개씩 묶어 '3묶음 7개'로 쓰기. 그 다음 2진법(2개씩 묶기)으로 같은 수 쓰기 → 컴퓨터는 이렇게 센다

준비물 · 바둑알 또는 콩 40개 / 10칸 계란판

핵심 식

345 = 3\times10^2 + 4\times10^1 + 5\times10^0

각 자리는 10의 거듭제곱이 곱해진다

N = \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot b^k

밑 b를 바꾸면 2진법·16진법이 된다

✗ 0은 아무것도 아니니까 안 써도 된다 (305를 35로).

왜 이렇게 생각하나
"없음"과 "빈 자리를 지키는 표시"를 구분하지 못해서.

어떻게 깨뜨리나
바둑알로 305를 만들어 본다 — 백의 자리 3, 십의 자리 0, 일의 자리 5. 0을 빼면 십의 자리가 사라져 35가 된다. 0의 일은 "자리를 지키는 것"이다.

✗ 숫자가 길면 무조건 큰 수다.

왜 이렇게 생각하나
자연수만 다룰 때는 맞기 때문. 소수에서 깨진다.

어떻게 깨뜨리나
0.5와 0.25 중 뭐가 크냐고 물어본다. 자릿수가 많은 0.25가 더 작다.

로마 숫자는 자릿값이 없어서 CCCXLV처럼 길고, 곱셈이 거의 불가능했다. 인도에서 0과 자릿값이 만들어지고 아라비아를 거쳐 유럽에 들어오면서 비로소 필산(종이 계산)이 가능해졌다. 우리가 쓰는 계산법은 전부 이 발명 위에 서 있다.

자릿값을 알면 받아올림·받아내림이 "규칙"이 아니라 "당연한 결과"가 된다. 소수는 이 자리를 오른쪽으로 연장한 것이고, 거듭제곱은 이 자리의 이름이다.