개념지도 / 중등 / 기하

입체의 겉넓이와 부피

surface area and volume of solids 중1 앞으로

전개도로 겉넓이, 밑넓이×높이로 부피. 구는 4/3πr³

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

겉넓이는 전개도의 넓이다. 입체를 펼쳐서 평면 문제로 바꾸는 것이 핵심 전략.

2배로 키우면 넓이는 4배, 부피는 8배길이 2배면 부피 8배.

몇 배로

길이만 비례한다. 차원이 올라가면 지수가 붙는다.

공간 감각. 적분으로 유도하는 날의 목표값

구 겉넓이 4πr² = 원 4개

오렌지 껍질을 벗겨 같은 반지름 원 몇 개 채워지는지(약 4개)

준비물 · 원뿔·원기둥 모형 / 물 또는 모래

핵심 식

V_{\text{뿔}} = \tfrac{1}{3}S h

기둥의 1/3

V_{\text{구}} = \tfrac{4}{3}\pi r^3,\quad S_{\text{구}}=4\pi r^2

✗ 뿔의 부피가 기둥의 1/2일 것 같다.

왜 이렇게 생각하나
반쯤 잘린 느낌이라서.

어떻게 깨뜨리나
같은 밑면·높이의 뿔에 물을 채워 기둥에 부으면 정확히 3번 들어간다. 실험으로 확인.

아르키메데스는 구의 부피가 외접 원기둥의 2/3임을 발견하고, 자기 묘비에 원기둥에 내접한 구를 새겨달라고 했다.

적분으로 하면 1/3도 4/3π도 전부 계산으로 나온다.