개념지도 / 고등 / 수학Ⅰ: 지수와 로그

지수의 확장과 지수법칙

exponents and exponent rules 고2 앞으로

2⁰=1, 2⁻¹=½, 2^½=√2. 패턴을 뒤로 이어서 발견

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

지수를 정수에서 유리수·실수로 넓힐 때 기준은 "지수법칙이 계속 성립하게"다. a⁰=1도 a^(1/2)=√a도 전부 거기서 강제된다.

결국 지수가 이긴다지수법칙을 지키려면 a⁰=1일 수밖에 없다.

x 범위

처음엔 x²가 크지만 2^x가 반드시 추월한다.

정의가 아니라 발견. 지수함수의 문법

8,4,2,?,½ → 1. 2^½×2^½=2 → √2

2ⁿ 표를 n=5부터 -3까지. 절반씩 줄이며 0제곱·음수제곱 발견

핵심 식

a^m a^n=a^{m+n}

이 법칙을 지키려면 나머지가 다 정해진다

a^0=1,\ a^{-n}=\frac{1}{a^n},\ a^{1/n}=\sqrt[n]{a}

전부 위 법칙의 귀결

✗ a^(1/2)=√a 는 그냥 약속이다.

왜 이렇게 생각하나
유도를 안 봐서.

어떻게 깨뜨리나
a^(1/2)·a^(1/2) = a^1 = a. 제곱해서 a가 되는 수이므로 √a일 수밖에 없다.

지수함수 → 로그 → 미적분에서 e의 등장.