개념지도 / 중등 / 기하

닮음과 비율

similarity 중3 앞으로

모양 같고 크기 다름. 대응변의 비가 일정

한 문장 직관 — 이것만 남으면 성공

닮음은 "모양은 같고 크기만 다른 것"이다. 길이는 k배, 넓이는 k²배, 부피는 k³배.

2배로 키우면 넓이는 4배, 부피는 8배닮음비 k면 넓이 k², 부피 k³.

몇 배로

길이만 비례한다. 차원이 올라가면 지수가 붙는다.

삼각비, 축척, 그림자로 높이 재기. 미분에서 '작은 삼각형' 논법

탈레스가 그림자로 피라미드 높이를 잰 방법

막대 하나와 그림자 길이로 건물 높이 재기

핵심 식

\text{길이}:k,\ \text{넓이}:k^2,\ \text{부피}:k^3

차원마다 지수가 다르다

✗ 길이가 2배면 넓이도 2배.

왜 이렇게 생각하나
전부 비례로.

어떻게 깨뜨리나
한 변 2배 정사각형을 그려보면 작은 정사각형 4개가 들어간다.

Q. 닮음비 1:3인 두 도형의 넓이비와 부피비

A. 1:9, 1:27
Q. 왜 큰 동물은 다리가 굵은가?

A. 부피(체중)는 k³, 뼈 단면적은 k²로 늘어 하중이 k배 커지므로

→ 갈릴레이의 제곱-세제곱 법칙

삼각비 → 삼각함수. 닮음이 있어서 "각이 같으면 변의 비가 같다"가 성립하고, 그게 sin·cos의 존재 근거다.